빈출 유형
곱의 미분법
미정계수 결정
출제의도
이 문항은 곱의 미분법으로 g′(x)를 구하고, 함숫값 조건과 미분계수 조건을 이차함수 f(x)의 계수에 대한 식으로 바꿀 수 있는지 확인합니다. 조건이 두 개, 미지수도 두 개이므로 식을 정확히 세우기만 하면 f(x)가 결정됩니다.
핵심은 f(0)이 x에 관계없는 상수라는 점입니다. 따라서 미분하면 사라지고, f(x)=x2+ax+b로 놓으면 f(0)=b, f′(0)=a로 바로 연결됩니다.
단계별 힌트
g(x)는 (x2+1)과 f(x)의 곱에 일차식과 상수를 더한 함수입니다. g′(x)를 구하려면 어떤 미분법을 써야 할지, 그리고 −f(0)은 미분하면 어떻게 되는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
곱의 미분법으로 g′(x)=2xf(x)+(x2+1)f′(x)+2입니다. x=0을 대입하면 첫째 항이 사라져 g′(0)=f′(0)+2가 됩니다.
g(1)=0에는 x=1을 대입해 f(1)과 f(0) 사이의 관계식을 얻습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(x)=x2+ax+b로 놓으면 f′(0)=a, f(0)=b, f(1)=1+a+b입니다. 두 조건에서 a와 b를 구한 뒤 f(4)를 계산하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 10
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ag(1)=0에서 관계식 세우기
x=1을 대입하면 g(1)=2f(1)+2−f(0)=0이므로 f(0)=2f(1)+2입니다.
STEP B곱의 미분법으로 f′(0) 구하기
g′(x)=2xf(x)+(x2+1)f′(x)+2이고, g′(0)=f′(0)+2=1이므로 f′(0)=−1입니다.
STEP Cf(x)를 정하고 f(4) 계산하기
f(x)=x2+ax+b로 놓으면 f′(0)=a=−1입니다. STEP A의 식 b=2(1+a+b)+2를 정리한 b=−2a−4에 대입하면 b=−2입니다. 따라서 f(x)=x2−x−2이고 f(4)=16−4−2=10이므로 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · g′(0)은 g(x)의 일차항 계수
다항함수에서 x=0에서의 미분계수는 일차항의 계수와 같습니다. 따라서 g(x)를 미분하지 않고 일차항만 골라내도 됩니다. g(x)=(x2+1)(x2+ax+b)+2x−b에서 x항이 나오는 곳은 1×ax와 2x뿐이므로 일차항 계수는 a+2입니다. a+2=1에서 a=−1입니다.
a=−1이면 f(1)=1−1+b=b, 즉 f(1)=f(0)이 됩니다. 그러면 g(1)=2f(1)+2−f(0)=b+2=0이 되어 b=−2가 곧바로 나옵니다. 마지막으로 f(x)=(x−2)(x+1)로 인수분해해 두면 f(4)=2×5=10으로 계산도 간단해집니다.
실수를 줄이는 전략
- −f(0)을 −f′(0)으로 미분하는 실수가 많습니다. f(0)은 하나의 수이므로 미분하면 0입니다.
- (x2+1)f(x)를 미분할 때 (x2+1)f′(x)만 쓰고 2xf(x)를 빠뜨리지 마세요. 이 문항은 x=0을 대입해 그 항이 우연히 사라질 뿐, 곱의 미분법 자체는 두 항을 모두 써야 합니다.
- g(1)을 계산할 때 x2+1에 x=1을 넣은 값은 2입니다. f(1)의 계수 2를 빠뜨리면 b를 잘못 구하게 됩니다.
- 최고차항의 계수가 1이라는 조건을 반드시 반영해 f(x)=x2+ax+b로 놓으세요. 미지수를 셋으로 두면 조건이 부족해 풀리지 않습니다.
엄선된 풀이 영상
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