빈출 유형
미분가능성과 연속
곱의 미분법
출제의도
이 문항은 “x=1에서의 미분계수가 존재하면 x=1에서 연속”이라는 사실을 먼저 적용하고, 이어서 곱의 미분법을 활용할 수 있는지 확인합니다. h(x)는 x=1에서만 함숫값을 f(1)로 따로 정한 함수이므로, 연속 조건에서 g(1)의 값이 결정됩니다.
조건 (가)의 f(1)≠0은 연속 조건 f(1)g(1)=f(1)의 양변을 f(1)로 나누기 위해 주어진 것입니다. g(1)=1을 얻으면 h(x)=f(x)g(x)가 x=1에서도 성립하게 되어 곱의 미분법을 그대로 쓸 수 있습니다.
단계별 힌트
h(x)의 x=1에서의 미분계수가 −3으로 존재한다고 했습니다. 미분계수가 존재하는 점에서 함수는 반드시 연속입니다. x=1에서 연속이려면 어떤 식이 성립해야 할지 먼저 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(x), g(x)는 미분가능하므로 연속이고, x→1일 때 f(x)g(x)는 f(1)g(1)에 가까워집니다. h(1)=f(1)이므로 연속 조건은 f(1)g(1)=f(1)이고, f(1)≠0이므로 g(1)=1입니다.
그러면 h(1)=f(1)=f(1)g(1)이 되어, 모든 실수 x에 대하여 h(x)=f(x)g(x)가 성립합니다. 이제 곱의 미분법을 쓸 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
h′(1)=f′(1)g(1)+f(1)g′(1)에 f′(1)=1, g(1)=1, g′(1)=−2를 대입해 f(1)에 대한 식을 만들고, 이 값이 −3과 같다고 놓으세요. 마지막으로 구하는 값이 f(1)+g(1)이라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A연속 조건으로 g(1) 구하기
h(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연속입니다. limx→1f(x)g(x)=f(1)g(1)이고 h(1)=f(1)이므로 f(1)g(1)=f(1)입니다. f(1)≠0이므로 g(1)=1입니다.
STEP B곱의 미분법으로 f(1) 구하기
g(1)=1이면 모든 실수 x에 대하여 h(x)=f(x)g(x)이므로 h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)입니다. h′(1)=1×1+f(1)×(−2)=1−2f(1)이고, 조건 (나)에서 h′(1)=−3이므로 1−2f(1)=−3, f(1)=2입니다.
STEP Cf(1)+g(1) 계산하기
f(1)+g(1)=2+1=3이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 미분계수의 정의로 직접 계산
곱의 미분법을 떠올리지 못해도 정의만으로 풀 수 있습니다. h′(1)=limx→1f(x)g(x)−f(1)x−1에서, 연속 조건으로 얻은 g(1)=1을 이용해 f(1)=f(1)g(1)로 바꿔 씁니다.
분자를 f(x)g(x)−f(1)g(1)=(f(x)−f(1))g(x)+f(1)(g(x)−g(1))로 나누면 h′(1)=f′(1)g(1)+f(1)g′(1)=1−2f(1)이 됩니다. 이 과정이 곧 곱의 미분법의 증명입니다. 만약 f(1)=0이었다면 연속 조건 f(1)g(1)=f(1)이 항상 성립해 g(1)을 정할 수 없었을 것이므로, 조건 f(1)≠0이 왜 필요한지도 함께 확인할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- h(1)=f(1)만 보고 곧바로 곱의 미분법을 쓰면 g(1)이 미지수로 남아 식이 풀리지 않습니다. 미분계수가 존재한다는 조건에서 연속 조건을 먼저 끌어내세요.
- f(1)g(1)=f(1)에서 g(1)=1로 나누는 과정은 f(1)≠0일 때만 가능합니다. 문제에서 주어진 조건이 어디에 쓰이는지 확인하는 습관을 들이세요.
- h′(1)을 f′(1)g′(1)=1×(−2)로 계산하는 실수가 있습니다. 곱의 미분은 미분의 곱이 아니라 f′g+fg′입니다.
- f(1)×(−2)의 부호를 놓치면 1+2f(1)=−3에서 f(1)=−2가 나옵니다. 구하는 값은 f(1)+g(1)이므로 마지막에 g(1)=1을 더하는 것도 잊지 마세요.
엄선된 풀이 영상
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