수능특강 수학Ⅱ 미분계수와 도함수 Level 1 6번

06
빈출 유형

03 미분계수와 도함수
도함수의 좌극한·우극한
구간별로 정의된 함수

출제의도

이 문항은 구간별로 정의된 함수 g(x)에 대하여 각 구간에서 도함수 g′(x)를 구하고, x=0에서의 좌극한과 우극한을 따로 계산할 수 있는지 확인합니다.

x≥0에서 f(0)이 상수라서 미분하면 사라진다는 점, 그리고 조건 f′(0)=0을 우극한 계산에 연결하는 것이 핵심입니다. 구하는 것이 g′(0)이 아니라 g′(x)의 극한이라는 점도 함께 짚어야 합니다.

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

구하는 값은 x=0에서의 미분계수가 아니라, g′(x)가 x=0의 오른쪽과 왼쪽에서 각각 어떤 값에 가까워지는지입니다. 먼저 x>0과 x<0 각 구간에서 g′(x)를 식으로 나타내 보세요.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

x>0에서 g(x)=f(x)−f(0)이고 f(0)은 상수이므로 g′(x)=f′(x)입니다. f(x)는 다항함수이므로 f′(x)도 다항함수이고, x→0+일 때 f′(x)는 f′(0)에 가까워집니다.

x<0에서는 g(x)=2x³−4x를 미분하면 됩니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

우극한은 조건 f′(0)=0을 이용하고, 좌극한은 x<0에서 구한 g′(x)=6x²−4에 x=0을 대입한 값과 같습니다. 두 값을 더하세요.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ② −4

수능특강 수학Ⅱ 미분계수와 도함수 Level 1 6번 상세 해설 1

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP Ax>0에서 우극한 구하기

x>0에서 g′(x)=f′(x)이고 f′(0)=0이므로 limx→0+g′(x)=limx→0+f′(x)=f′(0)=0입니다.

STEP Bx<0에서 좌극한 구하기

x<0에서 g′(x)=6x²−4이므로 limx→0−g′(x)=limx→0−(6x²−4)=−4입니다.

STEP C두 극한값 더하기

limx→0+g′(x)+limx→0−g′(x)=0+(−4)=−4이므로 정답은 ②입니다.

각 구간의 식이 다항식이면 g′(x)의 한쪽 극한은 그 쪽 식으로 계산한 x=0에서의 미분계수와 같습니다. g(0)=f(0)−f(0)=0이므로 정의로 직접 계산해도 됩니다.

우미분계수는 limx→0+g(x)−g(0)x=limx→0+f(x)−f(0)x=f′(0)=0이고, 좌미분계수는 limx→0−2x³−4xx=limx→0−(2x²−4)=−4입니다. 같은 결과 0+(−4)=−4를 얻습니다.

덧붙여 g(x)는 x=0에서 연속이지만 좌·우 미분계수가 −4와 0으로 달라 x=0에서 미분가능하지 않습니다. 그래서 문제는 g′(0)을 묻지 않고 g′(x)의 좌극한과 우극한을 따로 물은 것입니다. 이 차이를 읽어 내는 것이 출제의도의 절반입니다.

x≥0에서 g(x)=f(x)−f(0)을 미분할 때 f(0)을 f′(0)으로 바꾸어 g′(x)=f′(x)−f′(0)으로 쓰는 실수가 많습니다. f(0)은 상수이므로 미분하면 0입니다.
g′(0)의 값을 구하려고 하면 안 됩니다. 좌·우 미분계수가 다르므로 g′(0)은 존재하지 않고, 문제는 극한값만 묻고 있습니다.
x<0에서 2x³−4x를 미분하면 6x²−4입니다. 2x³은 6x²로, −4x는 −4로 각각 미분되며 부호까지 그대로 옮겨야 합니다.
우극한 계산에는 조건 f′(0)=0이 반드시 필요합니다. f(x)의 구체적인 식을 몰라도 답이 결정된다는 점을 확인하세요.