빈출 유형
구간별로 정의된 함수의 미분가능성
미분계수의 정의
출제의도
이 문항은 “구간별로 정의된 함수가 실수 전체에서 미분가능하면 경계점에서 연속이다”라는 성질을 이용해 미정계수를 결정하고, 미분계수의 정의로 h′(1)을 구할 수 있는지 확인합니다.
두 그래프가 만나는 두 점의 x좌표가 −1, 1이라는 사실을 g(x)−f(x)=a(x+1)(x−1)로 옮겨 적는 것이 출발점이고, x=0에서의 연속 조건으로 a를 구하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
h(x)가 실수 전체에서 미분가능하다면, 두 식이 바뀌는 경계 x=0에서 반드시 먼저 성립해야 하는 조건이 있습니다. 미분가능과 연속의 관계를 떠올려 보세요. 또 두 그래프가 두 점에서 만난다는 정보는 방정식 g(x)=f(x)의 근과 어떻게 연결될지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
일차함수 f(x)는 두 점 (−1, 2), (1, 4)를 지나는 직선이므로 바로 구할 수 있습니다. 또 이차방정식 g(x)=f(x)의 두 근이 −1, 1이므로 g(x)−f(x)=a(x+1)(x−1) (a≠0)로 놓을 수 있습니다.
x=0에서 연속이므로 우극한 g(0)−2와 좌극한 f(−1)이 같아야 합니다. 이 식에서 a가 결정됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
a를 구해 g(x)를 확정한 뒤, x=1은 x>0 구간이므로 h(x)=g(x)−2를 사용합니다. 미분계수의 정의 limx→1h(x)−h(1)x−1에 대입해 x−1을 약분하면 h′(1)이 나옵니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ −1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Af(x)를 구하고 g(x)를 a로 나타내기
두 점 (−1, 2), (1, 4)를 지나는 직선의 기울기는 1이므로 f(x)=x+3입니다. g(x)=f(x)의 두 근이 −1, 1이므로 g(x)=a(x+1)(x−1)+x+3=ax2+x+3−a입니다.
STEP Bx=0에서의 연속 조건으로 a 구하기
limx→0+h(x)=g(0)−2=1−a, limx→0−h(x)=limx→0−f(x−1)=f(−1)=2이고 h(0)=f(−1)=2입니다. 1−a=2에서 a=−1이므로 g(x)=−x2+x+4입니다.
STEP C미분계수의 정의로 h′(1) 구하기
x>0에서 h(x)=−x2+x+2이고 h(1)=2이므로 h′(1)=limx→1(−x2+x+2)−2x−1=limx→1−x(x−1)x−1=limx→1(−x)=−1입니다. 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · h′(1)=g′(1)로 바로 계산
x=1 근처에서는 h(x)=g(x)−2이고, 상수 −2는 미분하면 사라지므로 h′(1)=g′(1)입니다. g(x)=ax2+x+3−a에서 g′(x)=2ax+1이므로 g′(1)=2a+1=2×(−1)+1=−1로 곧바로 답이 나옵니다.
검산 관점도 하나 챙겨 두세요. x=0에서의 좌미분계수는 f′(−1)=1, 우미분계수는 g′(0)=1로 a의 값과 관계없이 항상 같습니다. 즉 이 문항에서 a를 결정하는 것은 미분계수 일치 조건이 아니라 연속 조건입니다. 미분가능 조건을 쓸 때는 “연속”과 “미분계수 일치” 중 어느 쪽이 실제로 정보를 주는지 확인하는 습관이 1등급을 만듭니다.
실수를 줄이는 전략
- x≤0에서 h(x)=f(x−1)이므로 x→0−일 때의 극한은 f(0)이 아니라 f(−1)입니다. 평행이동된 식에 대입할 때 x−1 자리를 꼭 확인하세요.
- g(x)−f(x)=a(x+1)(x−1)로 놓을 때 a≠0 조건을 잊지 마세요. g(x)가 이차함수라는 조건에서 나오는 것입니다.
- x=1은 x>0 구간이므로 아래쪽 식 g(x)−2를 사용해야 합니다. h(1)=g(1)−2=2이며, g(1)=4를 h(1)로 착각하지 않도록 주의하세요.
- h′(1)을 계산할 때 약분하지 않고 x=1을 대입하면 00이 됩니다. 반드시 x−1을 약분한 뒤 대입하세요.