빈출 유형
미분계수의 정의를 이용한 극한
치환으로 극한 변형
출제의도
이 문항은 낯선 모양의 극한식을 미분계수의 정의 limh→0f(p+h)−f(p)h=f′(p) 꼴로 바꿀 수 있는지 확인합니다. x→∞ 극한을 1x=h로 치환해 h→0+ 극한으로 바꾸는 것이 출발점입니다.
치환 후에는 f(2h−3)−f(−3)의 증가량이 2h이므로 분모를 2h로 맞추는 과정이 핵심이고, 곱해져 있는 f(h)는 연속성에 의해 f(0)으로 가는 부분으로 분리해서 처리합니다.
단계별 힌트
식 안에 1x, 2x가 들어 있고 x→∞입니다. 1x=h로 놓으면 h는 어디로 가고, 앞에 곱해진 x는 무엇으로 바뀌는지 생각해 보세요. f(□)−f(−3) 모양은 어떤 정의를 떠올리게 하나요?
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
h=1x로 놓으면 x→∞일 때 h→0+이고, 극한식은 limh→0+1hf(h){f(2h−3)−f(−3)}이 됩니다.
f(2h−3)−f(−3)에서 x의 증가량은 (2h−3)−(−3)=2h입니다. 그래서 1h=22h로 바꾸어 2f(h)×f(2h−3)−f(−3)2h로 나누어 보세요. 이차함수는 연속이므로 f(h)→f(0)입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
극한값은 2f(0)f′(−3)이고, 이것이 8a와 같습니다. f(x)=ax2+2x−1에서 f(0)과 f′(−3)을 a로 나타내 방정식을 풀어 a를 구하세요. 마지막으로 구하는 값이 a가 아니라 f(a)라는 점을 확인하세요.
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정답 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ah=1/x로 치환해 h→0+ 극한으로 바꾸기
x→∞일 때 h→0+이므로 주어진 극한은 limh→0+1hf(h){f(2h−3)−f(−3)}=limh→0+{2f(h)×f(2h−3)−f(−3)(2h−3)−(−3)}입니다.
STEP B연속성과 미분계수의 정의로 극한값 구하기
f(x)는 x=0에서 연속이므로 f(h)→f(0)이고, 2h−3=t로 놓으면 t→−3+이므로 뒤쪽 분수는 f′(−3)으로 수렴합니다. 따라서 극한값은 2f(0)f′(−3)이고 2f(0)f′(−3)=8a입니다.
STEP Ca를 구하고 f(a) 계산하기
f(0)=−1, f′(x)=2ax+2에서 f′(−3)=−6a+2이므로 2×(−1)×(−6a+2)=8a, 즉 12a−4=8a에서 a=1입니다. f(x)=x2+2x−1이므로 f(a)=f(1)=1+2−1=2입니다.
1등급 다른 풀이 · 차를 직접 인수분해해서 극한 계산
f가 다항함수이므로 미분계수의 정의를 거치지 않고 차를 직접 인수분해할 수도 있습니다. f(t)−f(−3)=a(t2−9)+2(t+3)=(t+3){a(t−3)+2}이고, t=2h−3을 넣으면 t+3=2h이므로 f(2h−3)−f(−3)=2h(2ah−6a+2)입니다.
따라서 1hf(h){f(2h−3)−f(−3)}=2f(h)(2ah−6a+2)가 되어 h를 약분한 뒤 곧바로 h=0을 대입할 수 있습니다. 극한값은 2×(−1)×(−6a+2)=12a−4로 앞의 풀이와 같습니다. 일반적으로 limh→0f(p+kh)−f(p)h=kf′(p)라는 사실을 기억해 두면 이런 꼴의 극한을 한 줄에 처리할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- f(2h−3)−f(−3)을 h로 나눈 것을 곧바로 f′(−3)이라고 쓰면 계수 2를 잃습니다. 이 경우 −(−6a+2)=8a에서 a=−1이라는 틀린 값이 나오므로, 분모는 반드시 x의 증가량 2h로 맞추세요.
- x→∞라고 해서 f1x가 발산한다고 착각하지 마세요. 1x→0이므로 f1x→f(0)=−1입니다.
- h→0+는 한쪽 극한이지만, f가 x=−3에서 미분가능하므로 우극한도 f′(−3)과 같습니다. 한쪽 극한이라서 계산이 달라지는 것은 아닙니다.
- 구하는 값은 a가 아니라 f(a)입니다. a=1을 구한 뒤 f(1)까지 계산해야 합니다.