고난도
방정식의 실근의 개수
좌극한·우극한
구간별로 정의된 함수
출제의도
이 문항은 방정식 f(x)=f(t)의 서로 다른 실근의 개수를 “곡선 y=f(x)와 수평선 y=f(t)의 교점 개수”로 바꾸어 읽을 수 있는지 확인합니다. t가 움직이면 수평선의 높이 f(t)가 움직이고, 그 높이가 극값을 지나는 순간에 교점 개수가 바뀝니다.
조건 (가)로 a의 부호를 먼저 결정하고, 조건 (나)로 g(t)의 좌극한과 우극한이 달라지는 t의 값을 찾아 a와 b를 구하는 것이 핵심입니다. 특히 g(t)가 불연속인 점과 좌극한·우극한이 서로 다른 점은 같은 개념이 아니라는 것을 구분해야 합니다.
단계별 힌트
g(t)는 곡선 y=f(x)와 직선 y=f(t)가 만나는 점의 개수입니다. 먼저 f(x)가 x=0에서 연속인지 확인하고, x>0에서의 이차함수의 축이 어디인지 구해 그래프의 대략적인 모양을 그려 보세요. x≤0 부분은 (x+1)2으로 정리됩니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
a>0이면 x>0에서 아래로 볼록, a<0이면 위로 볼록입니다. 두 경우 모두 t=0일 때와 t가 0에 아주 가까울 때의 교점 개수를 비교해 조건 (가)를 만족시키는 쪽을 고르세요.
수평선 y=f(t)가 극솟값 또는 극댓값의 높이를 “가로질러 지나갈 때” 교점 개수가 한쪽에서만 바뀌어 좌극한과 우극한이 달라집니다. 반대로 t가 극점 자체일 때는 수평선이 그 높이에 닿았다가 되돌아오므로 양쪽 극한이 같습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
곡선과 x축(극솟값 0의 높이)이 만나는 점 중 양수인 x좌표를 x2, 곡선과 직선 y=f(43)(극댓값의 높이)이 만나는 점 중 43이 아닌 x좌표를 x1이라 하면, 조건 (나)의 k는 x1, x2뿐입니다. 부호를 보고 3과 b에 짝지은 뒤, f(3)=0에서 a를, f(b)=f(43)에서 b를 구하세요. 마지막으로 구하는 값이 12×|a+b|라는 점을 확인하세요.
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정답 44
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ag(t)를 교점의 개수로 바꾸기
limx→0−f(x)=limx→0+f(x)=f(0)=1이므로 f(x)는 x=0에서 연속입니다. g(t)는 곡선 y=f(x)와 직선 y=f(t)의 교점 개수이고, x>0 부분의 축은 x=43입니다.
STEP B조건 (가)로 a의 부호 정하기
a>0이면 g(0)=3이지만 t→0일 때 수평선이 1보다 약간 아래로 내려가 교점이 4개가 되므로 limt→0g(t)=4≠g(0)입니다. a<0이면 g(0)=3이고 좌극한·우극한도 모두 3이므로 조건 (가)를 만족시킵니다. 따라서 a<0입니다.
STEP C조건 (나)의 k 찾기
극솟값 0(x=−1)과 극댓값 f(43)의 높이를 기준으로 g(t)를 조사하면, t가 x1, −1, 43, x2일 때만 g(t)=2이고 나머지 구간에서는 1 또는 3입니다. 이 중 좌극한과 우극한이 다른 것은 t=x1(1→3), t=x2(3→1)뿐입니다. x1<0, x2>0이므로 x1=b, x2=3입니다.
STEP Da, b를 구하고 12×|a+b| 계산하기
f(3)=9a−8a+1=0에서 a=−1입니다. 이때 f(43)=259이므로 f(b)=f(43)에서 (b+1)2=259이고, b<−1이므로 b+1=−53, b=−83입니다.
12×|a+b|=12×|−1−83|=12×113=44입니다.
1등급 다른 풀이 · 극값의 높이만 보고 k를 바로 찾기
g(t)를 구간별로 모두 쓰지 않아도 됩니다. 연속함수 f에서 “좌극한 ≠ 우극한”이 되는 t는 극점이 아니면서 f(t)가 극값과 같은 점뿐입니다. a<0일 때 극값은 극솟값 0과 극댓값 f(43)의 두 개이므로, k는 f(x)=0의 근 중 −1이 아닌 것과 f(x)=f(43)의 근 중 43이 아닌 것입니다.
양수인 k=3은 x>0 부분의 x절편이므로 ax2−83ax+1=0의 한 근이 3입니다. 두 근의 합이 83이므로 다른 근은 −13이고, 두 근의 곱 1a=3×(−13)=−1에서 a=−1이 바로 나옵니다. 또 꼭짓점의 높이는 f(43)=1−16a9=259이므로 (b+1)2=259, b=−83을 곧바로 얻을 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- g(t)에서 t는 수평선의 높이를 정하는 변수입니다. x에 대한 방정식의 근을 세는 것이므로, 수평선 y=f(t)를 위아래로 움직이며 교점 개수를 세야 합니다.
- t=−1, t=43에서도 g(t)=2로 값이 튀지만, 좌극한과 우극한이 모두 3으로 같습니다. 조건 (나)는 불연속점이 아니라 좌극한 ≠ 우극한인 점을 묻고 있으므로 이 두 값은 k가 아닙니다.
- a<0이라고 짐작만 하고 넘어가지 마세요. a>0일 때 t=0 근처에서 교점이 4개가 된다는 것을 확인해야 조건 (가)를 제대로 사용한 것입니다.
- (b+1)2=259에서 b=23을 고르면 안 됩니다. b=x1은 x≤0 부분의 점이고 극솟점 −1보다 왼쪽에 있으므로 b<−1입니다.
- 구하는 값은 a+b가 아니라 12×|a+b|입니다. a+b=−113에서 절댓값과 12배를 빠뜨리지 마세요.
엄선된 풀이 영상
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