고난도
구간별로 정의된 함수의 연속
이차함수와 직선의 교점
출제의도
이 문항은 구간별로 정의된 함수가 실수 전체에서 연속이 되려면 경계점 x=1에서의 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 한다는 조건을 식으로 바꿀 수 있는지 확인합니다. 그 결과 얻은 f(a)=−1이라는 조건을 다시 이차함수의 그래프로 해석하는 두 단계 구조입니다.
“조건을 만족시키는 a의 개수가 2″라는 문장을 “곡선 y=f(x)와 직선 y=−1이 x>1인 범위에서 두 점에서 만난다”로 옮기는 것이 핵심이며, 축의 위치와 경계값 f(1), 꼭짓값 f(2)의 부호 조건으로 k의 범위를 결정합니다.
단계별 힌트
x<1에서 g(x)=−x, x>1에서 g(x)=f(ax)는 모두 다항함수이므로 각 구간 안에서는 항상 연속입니다. 그렇다면 g(x)가 실수 전체에서 연속인지는 어느 한 점만 확인하면 될지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x=1에서 연속이려면 limx→1−g(x)=limx→1+g(x)=g(1)이어야 합니다.
좌극한과 함숫값은 −x에 x=1을 넣은 값이고, 우극한은 f(ax)에서 x 대신 1을 넣은 f(a)입니다. 이 셋을 같다고 놓으면 a가 만족시켜야 할 식 하나가 나옵니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(a)=−1을 만족시키는 1보다 큰 a가 2개라는 것은 곡선 y=f(x)와 직선 y=−1의 두 교점의 x좌표가 모두 1보다 크다는 뜻입니다. f(x)의 축이 x=2이므로 f(1)과 f(2)가 −1보다 큰지 작은지를 각각 조건으로 세워 k의 범위를 구하세요. 마지막으로 구하는 값은 자연수 k의 합입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 70
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A연속을 확인할 점 좁히기
x<1, x>1에서 g(x)는 각각 다항함수이므로 연속입니다. 따라서 g(x)가 실수 전체에서 연속이 될 조건은 x=1에서 연속이 될 조건과 같습니다.
STEP Bx=1에서의 연속 조건으로 f(a)=−1 얻기
limx→1−g(x)=limx→1−(−x)=−1, g(1)=−1이고, f(ax)는 연속이므로 limx→1+g(x)=limx→1+f(ax)=f(a)입니다. 세 값이 같아야 하므로 f(a)=−1입니다.
STEP C그래프 조건으로 바꾸기
f(x)=k60x(x−4)는 축이 x=2인 아래로 볼록한 이차함수입니다. 곡선 y=f(x)와 직선 y=−1이 x>1에서 두 점에서 만나려면 f(2)<−1이고 f(1)>−1이어야 합니다.
STEP Dk의 범위와 합 구하기
f(1)=−k20>−1에서 k<20, f(2)=−k15<−1에서 k>15입니다. 15<k<20인 자연수 k는 16, 17, 18, 19이므로 합은 70이고, 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · a에 대한 이차방정식의 근을 직접 구하기
f(a)=−1을 정리하면 k60(a2−4a)=−1, 즉 a2−4a+60k=0입니다. 근의 공식으로 a=2±√4−60k이므로, 서로 다른 두 실근이 되려면 4−60k>0, 즉 k>15입니다.
큰 근 2+√…은 항상 1보다 크므로 작은 근만 확인하면 됩니다. 2−√4−60k>1에서 4−60k<1, 즉 60k>3이므로 k<20입니다. 그래프를 그리지 않고도 같은 범위 15<k<20을 얻을 수 있고, 두 근이 축 x=2에 대칭이라는 사실 덕분에 작은 근 하나만 따지면 된다는 점이 이 풀이의 요령입니다.
실수를 줄이는 전략
- 우극한을 구할 때 limx→1+f(ax)를 f(1)로 쓰는 실수가 많습니다. x가 1에 가까워지면 ax는 a에 가까워지므로 우극한은 f(a)입니다.
- k=20이면 f(1)=−1이 되어 교점이 x=1, x=3에서 생깁니다. a는 1보다 커야 하므로 a=3 하나뿐이고, 조건을 만족시키지 않습니다. 부등호에 등호를 넣지 않도록 주의하세요.
- k=15이면 f(2)=−1로 직선 y=−1이 꼭짓점에서 접해 a=2 하나만 생깁니다. 이 경우도 제외해야 합니다.
- f(1), f(2)를 계산할 때 k60×(−3)=−k20, k60×(−4)=−k15의 약분에서 실수하지 않도록 한 번 더 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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