빈출 유형
구간별로 정의된 함수
절댓값 함수의 연속
출제의도
이 문항은 구간별로 정의된 함수에서 “각 구간의 식은 이미 연속이므로 경계점만 확인하면 된다”는 원리와, 절댓값을 씌운 함수 |f(x)|의 연속 조건을 정확히 세울 수 있는지 확인합니다.
핵심은 |f(x)|의 연속이 f(x)의 연속보다 느슨한 조건이라는 점입니다. x=2의 좌우에서 f(x)의 값이 부호만 다르고 절댓값이 같아도 |f(x)|는 연속이 되므로, a의 값이 두 개 나옵니다.
단계별 힌트
x<2에서 |2x+1|, x≥2에서 |3x+a|는 각각 연속입니다. 그렇다면 |f(x)|가 실수 전체에서 연속인지 확인해야 할 점은 어디 한 곳뿐일지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x=2에서 연속이려면 limx→2−|f(x)|=limx→2+|f(x)|=|f(2)|이어야 합니다.
좌극한은 x<2의 식 |2x+1|에, 우극한과 함숫값은 x≥2의 식 |3x+a|에 x=2를 넣어 구합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
좌극한은 5, 우극한과 함숫값은 |6+a|입니다. |6+a|=5를 만족하는 a는 몇 개인지 두 경우로 나누어 구한 뒤, 모든 a의 값의 합을 계산하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① −12
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A확인할 점을 x=2로 좁히기
각 구간에서 |2x+1|, |3x+a|는 연속이므로 |f(x)|가 실수 전체에서 연속이 되려면 경계인 x=2에서 연속이면 됩니다.
STEP B좌극한, 우극한, 함숫값 구하기
limx→2−|f(x)|=|2×2+1|=5이고, limx→2+|f(x)|=|f(2)|=|6+a|입니다.
STEP C|6+a|=5를 풀어 합 구하기
6+a=5 또는 6+a=−5이므로 a=−1 또는 a=−11입니다. 모든 a의 값의 합은 −1+(−11)=−12이므로 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 제곱해서 합을 한 번에
|6+a|=5의 양변을 제곱하면 (6+a)2=25, 즉 a2+12a+11=0입니다. 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가지므로 근과 계수의 관계에서 두 근의 합이 곧바로 −12로 나옵니다. 근을 하나씩 구하지 않아도 합을 구할 수 있습니다.
f(x)와 |f(x)|를 비교해 두면 개념이 선명해집니다. f(x) 자체가 연속이려면 5=6+a에서 a=−1 하나뿐입니다. 반면 a=−11이면 x=2의 왼쪽에서 f(x)는 5에, 오른쪽에서는 −5에 가까워져 f(x)는 불연속이지만, 절댓값을 씌우면 양쪽 모두 5가 되어 |f(x)|는 연속입니다.
실수를 줄이는 전략
- f(x)가 연속일 조건 5=6+a만 풀면 a=−1 하나만 얻습니다. 절댓값 조건은 반드시 6+a=5 또는 6+a=−5 두 경우로 나누세요.
- x≥2에 등호가 있으므로 함숫값 f(2)는 3x+a로 계산합니다. 2x+1에 넣어 f(2)=5로 쓰지 않도록 주의하세요.
- 각 구간 내부는 일차식이라 이미 연속입니다. 연속성을 따질 때 경계점 x=2만 확인하면 된다는 점을 기억하면 풀이가 짧아집니다.
- 구하는 값은 a가 아니라 모든 a의 값의 합입니다. 선택지에 −1은 없지만 −11 하나만 보고 고르지 않도록 마지막에 다시 확인하세요.