빈출 유형
극한값을 이용한 미정계수
분자의 유리화
출제의도
이 문항은 구간별로 정의된 함수가 경계 x=0에서 연속이 될 조건과, 00 꼴 극한에서 미정계수를 결정하는 원리를 함께 사용할 수 있는지 확인합니다. 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 하는데 좌극한 쪽 식이 분수 꼴이어서 1단원의 미정계수 원리가 다시 등장합니다.
우극한과 함숫값은 2x+b에서 모두 b입니다. 좌극한 식에서 분모가 0으로 가므로 분자도 0으로 가야 한다는 조건으로 a를 구하고, 분자를 유리화해 극한값을 구하면 b가 결정됩니다.
단계별 힌트
x=0에서 연속이려면 limx→0−f(x)=limx→0+f(x)=f(0)이어야 합니다. x→0−일 때와 x→0+일 때 각각 어느 식을 써야 하는지, f(0)은 어느 식에서 읽는지 부등호의 등호 위치를 보고 먼저 정리해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
우극한과 f(0)은 x≥0일 때의 식 2x+b에서 모두 b입니다. 따라서 limx→0−√x+1−ax=b가 성립해야 합니다.
이 극한에서 분모 x는 0으로 가는데 극한값이 존재하므로 분자 √x+1−a도 0으로 가야 합니다. 여기서 a가 결정됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
a를 대입한 뒤 분자와 분모에 √x+1+1을 똑같이 곱해 분자를 유리화하면 x가 약분됩니다. 남은 식에 x=0을 대입해 b를 구하고, 구하는 값이 a+b라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 32
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A연속 조건 정리하기
x=0에서 연속이므로 좌극한, 우극한, 함숫값이 같습니다. limx→0+(2x+b)=b, f(0)=b이므로 limx→0−√x+1−ax=b ……㉠입니다.
STEP B분자가 0으로 가는 조건으로 a 구하기
㉠에서 x→0−일 때 분모가 0으로 가고 극한값이 존재하므로 분자도 0으로 가야 합니다. limx→0−(√x+1−a)=1−a=0에서 a=1입니다.
STEP C분자를 유리화해서 b 구하기
b=limx→0−√x+1−1x=limx→0−xx(√x+1+1)=limx→0−1√x+1+1=12입니다.
STEP Da+b 계산하기
a+b=1+12=32이므로 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 치환으로 무리식을 유리식으로
√x+1=t로 놓으면 x=t2−1이고, x→0−일 때 x+1은 1보다 작은 쪽에서 1에 가까워지므로 t→1−입니다. 이때 분자가 0으로 가야 한다는 조건은 t−a→1−a=0이 되어 역시 a=1입니다.
그러면 b=limt→1−t−1t2−1=limt→1−t−1(t−1)(t+1)=limt→1−1t+1=12입니다. 유리화 대신 인수분해만으로 약분이 끝나 계산 실수를 줄일 수 있습니다. 근호가 들어간 00 꼴 극한에서 유리화가 번거로울 때 활용해 보세요.
실수를 줄이는 전략
- 우극한과 f(0)은 x≥0일 때의 식 2x+b, 좌극한은 −1≤x<0일 때의 분수식을 사용합니다. 경계점 x=0이 어느 구간에 포함되는지 등호 위치로 먼저 확인하세요.
- 분모가 0으로 가는데 극한값이 존재하면 분자도 0으로 가야 한다는 원리가 a를 구하는 출발점입니다. √0+1=1이므로 1−a=0, 즉 a=1입니다.
- 유리화할 때는 분자와 분모에 √x+1+1을 똑같이 곱해야 합니다. 분자에만 곱하면 식의 값 자체가 바뀝니다.
- a=1만 구하고 선택지 ① 1을 고르는 실수가 있습니다. 구하는 값은 a+b이므로 b=12까지 구해 더해야 합니다.