기본 필수
좌극한과 우극한
함수의 극한에 대한 성질
출제의도
이 문항은 극한이 존재하지 않는 두 함수의 차가 극한을 가질 수 있는 조건을 묻습니다. 각 함수가 어디서 끊어지는지 먼저 찾고, 두 함수의 차가 모든 실수에서 극한을 가지려면 끊어지는 위치가 어떻게 맞물려야 하는지 판단하는 것이 핵심입니다.
특히 “극한이 존재하는 두 함수의 합과 차는 극한이 존재한다”는 성질을 거꾸로 활용하는 논리가 필요합니다. 계산은 간단하지만, a의 값을 먼저 결정하는 근거를 논리적으로 세울 수 있는지가 이 문항의 진짜 평가 포인트입니다.
단계별 힌트
두 함수가 각각 어디에서 극한이 존재하지 않는지부터 확인하세요. 구간별로 정의된 함수는 식이 바뀌는 경계점에서만 좌극한과 우극한이 달라질 수 있습니다.
f(x)는 x=1에서 좌극한과 우극한을 직접 계산해 보고, g(x)는 x=a를 제외한 모든 점에서 극한이 존재한다는 점을 기억해 두세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(x)는 x=1에서 좌극한이 4, 우극한이 −2이므로 극한이 존재하지 않습니다. 그런데 f(x)−g(x)는 x=1에서도 극한이 존재해야 합니다.
만약 a≠1이라면 g(x)는 x=1에서 극한이 존재합니다. 이때 f(x)=(f(x)−g(x))+g(x)이므로 f(x)도 x=1에서 극한이 존재하게 되어 모순입니다. 이 논리로 a의 값이 하나로 정해집니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
a의 값을 대입해 f(x)−g(x)를 구간별로 정리한 뒤, x=1에서의 좌극한과 우극한을 같게 놓으면 b에 대한 일차방정식이 나옵니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① −3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A극한이 존재하지 않는 점 찾기
f(x)는 x=1에서 좌극한이 1+3=4, 우극한이 1−3=−2로 서로 다르므로 극한이 존재하지 않습니다. 그 밖의 모든 점에서는 극한이 존재합니다. g(x)는 x=a를 제외한 모든 점에서 극한이 존재합니다.
STEP Ba의 값 결정하기
a≠1이면 x=1에서 g(x)와 f(x)−g(x)의 극한이 모두 존재하므로, 그 합인 f(x)의 극한도 존재해야 합니다. 이는 STEP A와 모순이므로 a=1입니다.
STEP Cx=1에서 좌극한과 우극한 맞추기
a=1일 때 f(x)−g(x)는 x≤1에서 −x2+3, x>1에서 (1−b)x−3입니다. 좌극한은 −1+3=2, 우극한은 (1−b)−3=−b−2이므로 2=−b−2에서 b=−4입니다. 따라서 a+b=1+(−4)=−3입니다.
1등급 다른 풀이 · 끊어진 크기(점프)를 맞추기
식을 빼서 정리하지 않고, 두 함수가 x=1에서 “얼마나 끊어지는지”만 비교할 수도 있습니다. f(x)는 x=1에서 좌극한 4에서 우극한 −2로 떨어지므로, (좌극한)−(우극한)=6만큼 끊어져 있습니다.
f(x)−g(x)의 극한이 존재하려면 g(x)도 같은 위치 x=1에서 똑같이 6만큼 끊어져야 서로 상쇄됩니다. 그래서 a=1이고, 이때 g(x)의 좌극한은 12+1×1=2, 우극한은 b이므로 2−b=6, 즉 b=−4입니다. “끊어진 크기가 같아야 차의 극한이 존재한다”는 관점은 구간별 함수 두 개가 결합된 변형 문항에서 계산량을 크게 줄여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- a=1을 근거 없이 “경계점이 같겠지”라고 짐작하고 넘어가면 서술형이나 논술형에서 감점됩니다. a≠1이면 모순이 생긴다는 논리를 한 줄로라도 반드시 적으세요.
- a=1을 대입할 때 g(x)의 x≤a 구간 식 x2+ax에도 a가 들어 있습니다. 구간의 경계만 바꾸고 식 안의 a를 그대로 두는 실수를 조심하세요.
- 우극한 (1−b)×1−3을 정리할 때 부호를 놓쳐 b−2로 쓰면 b=4, a+b=5가 되어 선택지에 없는 값이 나옵니다. 계산 결과가 선택지에 없다면 괄호를 풀 때 −b의 부호부터 다시 점검하세요.
- 극한이 존재한다는 것은 좌극한과 우극한이 같다는 뜻이지, 함숫값과 같다는 뜻이 아닙니다. 이 문항은 연속 조건이 아니므로 f(1), g(1)의 값은 따지지 않아도 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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