빈출 유형
극한값을 이용한 미정계수
분모의 유리화
출제의도
이 문항은 5번과 반대 방향의 조건, 즉 “분자가 0으로 가고 0이 아닌 극한값이 존재하면 분모도 0으로 가야 한다”를 적용할 수 있는지 확인합니다. 이 조건으로 b를 a에 대한 식으로 나타낸 뒤, 무리식이 있는 분모를 유리화해 a를 구합니다.
근호가 있는 0/0 꼴에서는 인수분해 대신 켤레식을 곱하는 유리화가 약분의 도구가 된다는 점이 핵심입니다.
단계별 힌트
x→−1일 때 분자 x+1은 0에 가까워집니다. 그런데 극한값이 6, 즉 0이 아닌 값입니다. 분모가 0이 아닌 수에 가까워지면 극한값은 0이 되어 버리므로, 분모는 어떤 값에 가까워져야 할지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
분모에 x=−1을 대입한 값이 0이어야 하므로 √−1+a+b=0, 즉 b=−√a−1입니다. 이제 분모는 √x+a−√a−1 꼴이 됩니다.
근호끼리의 차가 분모에 있을 때는 켤레식 √x+a+√a−1를 분모와 분자에 곱해 유리화합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
유리화하면 분모는 (x+a)−(a−1)=x+1이 되어 분자의 x+1과 약분됩니다. 남은 식에 x=−1을 대입해 6과 같다고 놓으면 a가 나오고, b=−√a−1에서 b도 구할 수 있습니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 7
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A분모가 0으로 가는 조건으로 b를 a로 나타내기
x→−1일 때 분자가 0으로 가고 0이 아닌 극한값이 존재하므로 분모도 0으로 가야 합니다. √−1+a+b=0에서 b=−√a−1입니다.
STEP B유리화해서 약분하기
분모와 분자에 √x+a+√a−1를 곱하면 분모가 x+1이 되어 약분되고, 극한은 limx→−1(√x+a+√a−1)=2√a−1이 됩니다.
STEP Ca, b를 구해 a+b 계산하기
2√a−1=6에서 √a−1=3, a−1=9이므로 a=10이고 b=−3입니다. 따라서 a+b=7이고 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · x+1을 제곱의 차로 보기
유리화 과정을 거꾸로 보면 더 빠릅니다. (x+a)−(a−1)=x+1이므로 분자 x+1은 (√x+a)2−(√a−1)2, 즉 (√x+a−√a−1)(√x+a+√a−1)로 인수분해됩니다.
분모가 √x+a−√a−1이므로 약분하면 식이 곧바로 √x+a+√a−1가 되고, x=−1을 대입하면 2√a−1=6입니다. 켤레식을 곱하는 계산 없이 “분자를 제곱의 차로 쪼갠다”는 관점 하나로 끝나며, 이 관점은 분자와 분모의 위치가 바뀐 변형 문항에도 그대로 통합니다. 또한 b=−√a−1에서 b는 항상 0 이하라는 점으로 답의 부호를 검산할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 5번처럼 “분자가 0이면 분모도 0”이라는 조건은 극한값이 0이 아닐 때만 쓸 수 있습니다. 문제에서 극한값이 6이라는 0이 아닌 값이라는 점을 먼저 확인하세요.
- b=−√a−1에서 음의 부호를 빠뜨리면 b=3이 되어 a+b=13이라는 엉뚱한 값이 나옵니다.
- 유리화 후 x=−1을 대입할 때 √x+a도 √a−1이 되므로 두 항이 합쳐져 2√a−1이 됩니다. 한 항만 남기면 √a−1=6이 되어 틀립니다.
- √a−1=3에서 양변을 제곱하지 않고 a−1=3으로 두면 a=4가 됩니다. 반드시 a−1=9로 제곱하세요.