기초 필수
좌극한과 우극한
그래프에서 극한 읽기
출제의도
이 문항은 그래프에서 좌극한과 우극한을 정확히 읽어낼 수 있는지를 확인합니다. 극한값은 x가 어떤 값에 한없이 가까워질 때 함숫값이 가까워지는 값이므로, 그 점에서의 함숫값(색칠된 점)과는 구별해서 읽어야 합니다.
두 번째 극한은 f(x)가 아니라 f(x−1)의 극한이라는 점이 함정입니다. x−1을 한 문자로 치환하면 x→0+가 어떤 방향의 극한으로 바뀌는지 파악해야 그래프의 올바른 위치를 읽을 수 있습니다.
단계별 힌트
좌극한은 x가 왼쪽에서 다가갈 때, 우극한은 x가 오른쪽에서 다가갈 때 그래프 위의 점이 향하는 y의 값입니다. 속이 빈 점이든 색칠된 점이든, 극한값을 읽을 때는 그 점의 함숫값이 아니라 선이 향하는 위치를 봐야 합니다.
두 번째 극한은 괄호 안이 x가 아니라 x−1입니다. 괄호 안 전체가 어디로 다가가는지부터 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
첫 번째 극한은 그래프에서 x=1의 왼쪽 부분을 따라가며 읽으면 됩니다. x=1에 색칠된 점이 있지만, 이것은 f(1)의 값이므로 좌극한과는 관계가 없습니다.
두 번째 극한은 x−1=t로 치환하세요. x가 0보다 큰 쪽에서 0에 다가가면 t는 −1보다 큰 쪽에서 −1에 다가갑니다. 즉, 오른쪽 방향(+)은 그대로 유지됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
x=1 왼쪽에서 선이 향하는 y의 값과, x=−1 오른쪽에서 선이 향하는 y의 값을 각각 읽어 더하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A첫 번째 극한을 그래프에서 읽기
x가 1보다 작은 쪽에서 1에 다가가면 그래프는 속이 빈 점 (1, −1)을 향하므로 limx→1− f(x)=−1입니다.
STEP B치환으로 극한의 방향 바꾸기
x−1=t로 놓으면 x→0+일 때 t→−1+이므로 limx→0+ f(x−1)=limt→−1+ f(t)입니다.
STEP C두 번째 극한을 읽고 더하기
t가 −1보다 큰 쪽에서 −1에 다가가면 그래프는 속이 빈 점 (−1, 2)를 향하므로 그 값은 2입니다. 따라서 구하는 값은 −1+2=1입니다.
1등급 다른 풀이 · 평행이동한 그래프로 보기
y=f(x−1)의 그래프는 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것입니다. 원래 그래프에서 x=−1 근처의 모양이 평행이동 후에는 x=0 근처로 옮겨 옵니다.
따라서 새 그래프에서 x=0의 오른쪽을 읽는 것은 원래 그래프에서 x=−1의 오른쪽을 읽는 것과 같고, 그 값은 2입니다. 치환 계산 없이 그래프의 이동만으로 방향과 위치를 동시에 판단할 수 있어, f(x+a), f(−x)처럼 괄호 안이 바뀐 극한 문항에서 특히 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- x=1에 있는 색칠된 점 (1, 0)을 보고 좌극한을 0으로 읽는 실수가 가장 흔합니다. 극한값은 함숫값과 별개이므로 선이 향하는 곳을 보세요.
- x→0+를 보고 그래프의 x=0 근처를 그대로 읽으면 엉뚱한 값이 나옵니다. 괄호 안이 x−1이면 반드시 치환하거나 평행이동을 생각하세요.
- 치환 후 방향을 t→−1−로 바꾸면 x=−1의 왼쪽을 읽게 되어 0을 얻습니다. x에 −1을 더하는 치환은 다가가는 방향을 바꾸지 않습니다.
- x=−1에서도 색칠된 점 (−1, 1)이 있으므로, 우극한을 1로 착각하지 않도록 주의하세요.