빈칸 추론 빈출
수학적 귀납법 빈칸
계승(!)의 약분
출제의도
이 문항은 수학적 귀납법 증명 과정의 빈칸을 채우는 유형입니다. 증명의 큰 틀 자체는 교과서와 똑같으므로, 실제로 확인하는 것은 (i) n=1을 직접 대입해 양변이 같음을 보이는 계산, (ii) n=m+1에서 새로 더해지는 항 am+1을 일반항에 정확히 대입하는 능력, 그리고 공통인수로 묶어 정리하는 식 변형입니다.
특히 이 문제의 핵심은 계승(!)을 다루는 감각입니다. an=(n+6)!n! 꼴에서 (m+7)!=(m+7)×(m+6)!, (m+1)!=(m+1)×m!임을 자유롭게 쓸 수 있어야 (m+7)!m!이라는 공통인수가 눈에 들어옵니다. 빈칸 유형이라 겁먹기 쉽지만, 대입과 약분만 정확하면 Level 2에서 반드시 확보해야 하는 문항입니다.
단계별 힌트
(가)는 어렵게 생각할 필요가 없습니다. 주어진 등식에 n=1을 그대로 넣어 좌변과 우변을 각각 계산하면 됩니다. 좌변은 합이 한 개뿐이므로 a1이고, a1=(1+6)!1!입니다.
(나)는 ∑k=1m+1ak=∑k=1mak+am+1에서 마지막에 더해지는 항입니다. 일반항 an=(n+6)!n!의 n 자리에 m+1을 대입하면 무엇이 되는지 써 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
계승은 “앞의 수를 하나 떼어내는” 변형이 전부입니다. (m+7)!=(m+7)×(m+6)!, (m+1)!=(m+1)×m! 두 가지만 기억하세요.
이 변형을 쓰면 m+77×(m+6)!m!=17×(m+7)!m!이 되고, (m+7)!(m+1)!=1m+1×(m+7)!m!이 됩니다. 두 항이 (m+7)!m!이라는 같은 덩어리를 갖게 되는 것이 이 증명의 전부입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
공통인수로 묶으면 (m+7)!m!(17+1m+1)−6! 이 됩니다. 괄호 안을 통분해 하나의 분수로 만든 것이 바로 (다)입니다.
마지막 값 계산에서는 f(2)=9!3!을 9×8×7×6×5×4로, p=7!을 5040으로 두고 약분하면 계산기 없이도 정리됩니다. g(6)은 분모 7(6+1)=49, 분자 6+8=14임에 주의하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 42
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A(가) — n=1을 양변에 대입하기
좌변은 ∑k=11ak=a1=7!1!=7!입니다. 우변은 1+77a1−6!=87×7!−6!이고, 7!7=6!이므로 8×6!−6!=7×6!=7!입니다. 따라서 (가)=7!이고 n=1일 때 (*)이 성립합니다.
STEP B(나) — 새로 더해지는 항 am+1 쓰기
∑k=1m+1ak=∑k=1mak+am+1이고, 일반항에 n=m+1을 대입하면 am+1=(m+1+6)!(m+1)!=(m+7)!(m+1)!입니다. 즉 (나)=(m+7)!(m+1)!입니다.
STEP C(다) — 공통인수 (m+7)!m!로 묶기
앞 항은 m+77×(m+6)!m!=(m+7)!m!×17, 뒤 항은 (m+7)!(m+1)!=(m+7)!m!×1m+1이므로, 두 항을 묶으면 (m+7)!m!(17+1m+1)−6!이 됩니다. 괄호 안을 통분하면 m+1+77(m+1)=m+87(m+1)이므로 (다)=m+87(m+1)입니다.
실제로 (m+7)!m!×m+87(m+1)=m+87×(m+7)!(m+1)!=m+87am+1이 되어 n=m+1일 때도 (*)이 성립합니다.
STEP D값 계산하기
p=7!, f(m)=(m+7)!(m+1)!, g(m)=m+87(m+1)이므로 f(2)=9!3!, g(6)=147×7=27입니다. 분모 p×g(6)=7!×27=2×6!=1440이고, f(2)=3628806=60480이므로 f(2)p×g(6)=604801440=42, 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 계승을 풀지 않고 약분으로 끝내기
60480, 1440 같은 큰 수를 직접 만들면 실수가 나기 쉽습니다. 계승을 숫자로 바꾸지 말고 기호 상태로 약분하는 편이 훨씬 안전합니다.
f(2)p×g(6)=9!/3!7!×(2/7)이고, 분모의 7!×27=2×6!이므로 전체는 9!3!×2×6!입니다. 여기서 9!=9×8×7×6!이므로 6!이 통째로 약분되어 9×8×76×2가 남고, 이는 50412=42입니다.
이처럼 계승이 들어간 식은 공통인 계승을 먼저 약분하는 것이 원칙입니다. 수열의 합·귀납법 단원뿐 아니라 확률과 통계의 조합 계산에서도 그대로 쓰이는 기술이므로 지금 익혀 두세요.
실수를 줄이는 전략
- (가)는 좌변과 우변을 둘 다 계산해야 합니다. 좌변만 구하고 7!이라고 답하면 운 좋게 맞을 뿐, 우변이 같음을 확인하는 것이 (i)단계의 목적입니다.
- am+1을 쓸 때 분모를 m!으로 두는 실수가 가장 많습니다. n 자리에 m+1을 넣으면 분모도 반드시 (m+1)!입니다.
- 공통인수로 묶을 때 −6!까지 괄호 안에 넣지 마세요. 6!은 상수항이므로 괄호 밖에 그대로 남습니다.
- g(6)의 분모는 7×(6+1)=49입니다. 7(m+1)의 괄호를 빠뜨리고 7×6+1=43으로 계산하면 전혀 다른 값이 나옵니다.
- 마지막 계산은 큰 수를 만들지 말고 계승 상태에서 약분하세요. 선택지 21, 28, 35, 42, 49는 모두 7의 배수라 대충 계산하면 걸러지지 않습니다.
엄선된 풀이 영상
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