빈출 필수
분모의 유리화
소거되는 합(망원합)
출제의도
이 문항은 일반항의 분모에 근호가 두 개 있을 때 무엇을 먼저 해야 하는지를 묻습니다. 분모를 유리화하면 각 항이 ‘뒤의 값 − 앞의 값’ 꼴로 바뀌고, 이를 k=1부터 40까지 더할 때 가운데 항들이 모두 지워지는 구조가 드러납니다.
수열의 합 단원에서 ∑ 공식으로 계산되지 않는 합은 대부분 이렇게 ‘소거되는 꼴’로 바꾸어 처리합니다. 부분분수 분해와 함께 반드시 익혀 두어야 하는 대표 유형이며, Level 1에서는 그 구조를 가장 단순한 형태로 연습할 수 있습니다.
단계별 힌트
분모가 √(2k−1)+√(2k+1)처럼 근호의 합으로 되어 있으면 ∑ 공식을 바로 쓸 수 없습니다. 이럴 때는 분모를 유리화해 근호를 분자로 올리는 것이 첫걸음입니다.
유리화는 분모와 분자에 분모의 켤레인 √(2k−1)−√(2k+1)을 똑같이 곱하는 것입니다. 곱한 뒤 분모가 어떤 수로 간단해지는지 직접 계산해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
(√A+√B)(√A−√B)=A−B입니다. 여기서 A=2k−1, B=2k+1이므로 분모는 (2k−1)−(2k+1)=−2가 되어 k와 관계없는 상수가 됩니다.
즉 일반항은 √(2k+1)−√(2k−1)2 꼴로 정리됩니다. 상수 12은 ∑ 밖으로 빼내고, 남은 (√(2k+1)−√(2k−1))를 k=1, 2, 3, …에 대해 몇 개만 직접 써 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
k=1일 때 √3−√1, k=2일 때 √5−√3, k=3일 때 √7−√5 …처럼 앞 항의 뒤쪽과 다음 항의 앞쪽이 서로 지워집니다. 끝까지 더하면 맨 처음의 −√1과 맨 마지막의 +√(2×40+1)만 남습니다.
2k+1에 k=40을 대입한 값이 얼마인지, 그 수의 제곱근이 얼마인지 정확히 확인한 뒤 12을 곱해 마무리하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A분모를 유리화해 일반항 바꾸기
분모와 분자에 √(2k−1)−√(2k+1)을 곱하면 분모는 (2k−1)−(2k+1)=−2가 됩니다. 따라서 일반항은 −12(√(2k−1)−√(2k+1)), 즉 12(√(2k+1)−√(2k−1))입니다.
STEP B항을 나열해 소거 구조 확인하기
−12{(√1−√3)+(√3−√5)+(√5−√7)+…+(√79−√81)}에서 √3, √5, …, √79가 모두 지워지고 √1과 −√81만 남습니다.
STEP C남은 항으로 값 구하기
−12(√1−√81)=−12(1−9)=4이므로 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · f(k)−f(k−1) 꼴로 보고 끝값만 계산하기
f(k)=√(2k+1)로 두면 √(2k−1)=f(k−1)이므로, 유리화한 일반항은 12{f(k)−f(k−1)}입니다. 이런 꼴의 합은 중간이 모두 지워지므로 ∑k=1n{f(k)−f(k−1)}=f(n)−f(0)이라는 사실만 알면 나열할 필요가 없습니다.
따라서 구하는 값은 12{f(40)−f(0)}=12(√81−√1)=12(9−1)=4입니다. 항의 개수가 100개, 1000개로 늘어나도 처음과 끝만 계산하면 되므로, 소거되는 합은 항상 ‘무엇이 남는가’를 먼저 파악하는 습관이 중요합니다.
실수를 줄이는 전략
- 유리화한 뒤 분모가 −2라는 점을 놓치면 부호가 반대로 나옵니다. 답이 −4처럼 음수로 나왔다면 부호를 먼저 점검하세요.
- 마지막 항은 k=40일 때이므로 2k+1=81, 즉 √81=9입니다. 2k−1=79로 착각해 √79에서 멈추지 않도록 끝값을 직접 대입해 확인하세요.
- √81−√1을 √80으로 계산하는 실수가 자주 나옵니다. 근호끼리는 그대로 빼거나 더할 수 없으며, 각각 9와 1로 값을 구한 뒤 빼야 합니다.
- 소거되는 합에서는 ‘앞에서 남는 항’과 ‘뒤에서 남는 항’이 각각 하나씩입니다. 항을 세 개 정도만 써 보아도 어떤 항이 남는지 금방 보이므로, 급하게 암산하지 말고 몇 항을 직접 적어 확인하세요.
“수능특강 수학Ⅰ 수열의 합과 수학적 귀납법 Level 1 6번”에 대한 1개의 생각