기초 필수
귀납적 정의
등차수열의 일반항
출제의도
이 문항은 an+1=an+5라는 관계식을 보고 “이 수열은 어떤 수열인가”를 바로 말할 수 있는지를 확인합니다. 이웃한 두 항의 차가 항상 5로 일정하다는 사실을 읽어내면, 낯선 기호로 쓰인 식이 곧 공차가 5인 등차수열의 정의라는 것을 알 수 있습니다.
수학적 귀납법 단원에서는 수열이 일반항 대신 ‘앞항과 뒷항의 관계’로 주어지는 경우가 대부분입니다. 이 문항은 그 첫 단계로, 귀납적 정의를 등차수열로 번역해 일반항을 세우는 가장 기본적인 동작을 연습하게 합니다.
단계별 힌트
an+1=an+5를 “다음 항은 이전 항보다 5만큼 크다”라고 우리말로 읽어 보세요. 이 말을 an+1−an=5로 옮겨 쓰면 더 분명해집니다.
이웃한 두 항의 차가 n과 관계없이 항상 같은 수열을 무엇이라고 부르는지, 그리고 그 일정한 차를 무엇이라고 부르는지 떠올리면 방향이 잡힙니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
수열 {an}은 공차가 5인 등차수열입니다. 등차수열의 일반항은 첫째항을 a1, 공차를 d라 할 때 an=a1+(n−1)d입니다.
문제에서 a1=2가 주어져 있으므로 a1과 d를 공식에 넣어 an을 n에 대한 식으로 정리해 보세요. 괄호를 풀어 간단히 하면 n에 대한 일차식이 나옵니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
정리한 일반항에 n=7을 대입하면 a7이 나옵니다. 이때 곱하는 수가 7이 아니라 (7−1)=6이라는 점에 주의하세요.
공식이 헷갈린다면 a1에서 a7까지 5를 몇 번 더해야 하는지를 세어 보는 것이 가장 안전합니다. 한 칸 건너갈 때마다 5씩 늘어나므로 몇 칸을 건너가는지만 정확히 세면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 32
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A귀납적 정의를 등차수열로 읽기
an+1=an+5이므로 an+1−an=5로, 모든 자연수 n에 대해 이웃한 두 항의 차가 5로 일정합니다. 따라서 {an}은 공차가 5인 등차수열입니다.
STEP B일반항을 세우고 n=7 대입하기
a1=2이므로 an=2+(n−1)×5=5n−3입니다. 여기에 n=7을 넣으면 a7=5×7−3=32이므로 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 항을 직접 나열해 확인하기
구하는 항의 번호가 작을 때는 공식 없이 직접 써 내려가는 것이 더 빠르고 확실합니다. a1=2에서 시작해 5씩 더하면 a2=7, a3=12, a4=17, a5=22, a6=27, a7=32입니다.
이 방법은 공식에서 (n−1)을 쓸지 n을 쓸지 헷갈릴 때 검산 도구로도 쓸 수 있습니다. 다만 a50처럼 번호가 큰 항을 묻는 문항에서는 시간이 오래 걸리므로, 평소에는 일반항 공식으로 풀고 나열은 검산용으로 쓰는 습관을 들이세요.
실수를 줄이는 전략
- an=a1+(n−1)d에서 (n−1) 대신 n을 곱하는 실수가 가장 많습니다. 2+7×5=37은 선택지 ②로 준비되어 있는 대표적인 함정입니다.
- a1에서 a7까지는 5를 일곱 번이 아니라 여섯 번 더합니다. 항의 개수와 ‘건너가는 칸 수’를 구분하세요.
- an+1=an+5처럼 더하는 꼴은 등차수열, an+1=5an처럼 곱하는 꼴은 등비수열입니다. 기호가 비슷하므로 연산이 덧셈인지 곱셈인지 먼저 확인하세요.
- 일반항을 5n−3으로 정리했다면 n=1을 넣어 2가 나오는지 반드시 확인하세요. 첫째항이 맞으면 식 전체가 맞을 확률이 매우 높습니다.