고난도
부분합의 최솟값
공차의 범위 구하기
출제의도
이 문항은 “모든 자연수 n에 대하여 Sn≥S13“이라는 한 줄을 수열의 항의 부호로 바꾸어 읽을 수 있는지를 묻습니다. 합이 13번째에서 가장 작다는 말은, 13항까지는 음수(또는 0)인 항을 더해 오다가 14항부터 양수(또는 0)인 항을 더하기 시작한다는 뜻입니다.
여기에 |S6−S3|=36이라는 조건이 붙어 a5의 값이 하나로 정해지고, 공차 d는 하나로 정해지지 않고 범위로만 결정됩니다. 값이 아니라 범위가 나오는 상황에서 S33의 최댓값과 최솟값을 구하는 구조이므로, 등차수열 단원에서 가장 자주 출제되는 ‘조건 → 부등식 → 범위’ 흐름을 그대로 연습할 수 있는 문항입니다.
단계별 힌트
조건 (가)는 ‘모든 n에 대하여’라고 되어 있지만, 실제로 쓸 수 있는 정보는 S13의 바로 양옆인 n=12와 n=14를 넣을 때 나옵니다. 두 경우를 각각 대입해 보세요.
이때 S14−S13이 무엇인지, S13−S12가 무엇인지를 떠올리는 것이 출발점입니다. 부분합의 차는 항 하나입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
1단계에서 a14≥0, a13≤0을 얻습니다. 두 식을 빼면 a14−a13=d≥0이므로 공차가 0 이상, 즉 이 수열은 감소하지 않습니다. 따라서 a13≤0이면 13번째 항까지는 모두 0 이하입니다.
조건 (나)의 S6−S3은 a4+a5+a6입니다. 등차수열에서 연속한 세 항의 합은 가운데 항의 3배라는 점을 이용하면 절댓값 안이 아주 간단해집니다. 그리고 a5의 부호는 위에서 이미 정해져 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
a5의 값을 구했다면 a14=a5+9d≥0, a13=a5+8d≤0 두 부등식으로 d의 범위를 만드세요.
마지막으로 S33은 항이 33개, 즉 홀수 개이므로 한가운데 항 a17만으로 표현됩니다. S33=33a17임을 이용해 a17의 범위를 d의 범위에서 끌어내면 끝입니다.
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정답 330
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)를 항의 부호로 바꾸기
n=14를 넣으면 S14≥S13이므로 S14−S13=a14≥0 ⋯⋯ ㉠, n=12를 넣으면 S12≥S13이므로 S13−S12=a13≤0 ⋯⋯ ㉡입니다. ㉠, ㉡에서 a14−a13=d≥0이므로 공차는 0 이상이고, a13≤0이므로 n≤13일 때 an≤0입니다.
STEP B조건 (나)로 a5 결정하기
|S6−S3|=|a4+a5+a6|=|3a5|=36이므로 a5=12 또는 a5=−12입니다. 그런데 STEP A에서 a5≤0이므로 a5=−12로 확정됩니다.
STEP C공차의 범위 구하기
㉠에서 a14=a5+9d=−12+9d≥0이므로 d≥43, ㉡에서 a13=a5+8d=−12+8d≤0이므로 d≤32입니다. 즉 43≤d≤32입니다.
STEP DS33을 a17로 바꿔 최댓값·최솟값 구하기
S33=33(a1+a33)2이고 a1+a33=2a17이므로 S33=33a17입니다. a17=a5+12d=−12+12d에 d의 범위를 넣으면 4≤a17≤6이므로 132≤S33≤198입니다. 따라서 최댓값 198, 최솟값 132의 합은 198+132=330입니다.
1등급 다른 풀이 · 그래프로 보는 Sn의 최소
등차수열의 부분합 Sn은 n에 대한 이차식이므로 아래로 볼록한 포물선 위의 점들로 볼 수 있습니다. Sn이 n=13에서 최소라는 것은 이 포물선의 꼭짓점이 12.5와 13.5 사이에 있다는 뜻입니다.
Sn=d2n2+(a1−d2)n에서 꼭짓점의 x좌표를 구해 12.5와 13.5 사이라는 부등식을 세워도 같은 d의 범위를 얻습니다. 다만 d=0인 경우가 이차식이 아니게 되므로 따로 확인해야 하고, 계산량도 늘어납니다. 실전에서는 위의 ‘항의 부호로 바꾸기’가 훨씬 빠르지만, 왜 최소가 한 지점 근처에서만 생기는지 그림으로 이해해 두면 조건 해석 속도가 크게 올라갑니다.
실수를 줄이는 전략
- Sn≥S13에서 곧바로 a13=0이라고 단정하면 안 됩니다. 등호가 포함되어 있으므로 a13≤0, a14≥0까지만 말할 수 있습니다.
- |3a5|=36에서 a5=12도 후보이지만, 조건 (가)에서 얻은 a5≤0 때문에 버려집니다. 절댓값을 풀 때는 항상 앞에서 얻은 부호 조건을 먼저 확인하세요.
- S6−S3을 a3+a4+a5로 잘못 쓰는 실수가 많습니다. 빼고 남는 항은 4번째부터 6번째까지입니다.
- S33을 a1과 d로 모두 풀어 쓰면 변수가 두 개가 되어 범위를 다루기 어려워집니다. 항의 개수가 홀수이면 한가운데 항 하나로 묶는 것이 정석입니다.
- 최댓값과 최솟값을 ‘합’하라고 했으므로 마지막에 198−132를 계산하지 않도록 문제 문장을 다시 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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