빈출 유형
등비수열의 일반항
자연수·정수 조건 처리
출제의도
이 문항은 등비수열의 일반항을 세우는 능력보다, 조건에 붙은 ‘자연수’와 ‘음의 정수’라는 말을 수식으로 바꾸는 힘을 묻습니다. 로그 조건에서 공비의 제곱을 얻고, 곱의 부호에서 공비의 부호를 결정한 다음, 정수 조건으로 첫째항의 범위를 좁혀 가는 3단 구조입니다.
Level 2에서 정답률이 갈리는 지점은 대부분 마지막 단계입니다. r을 −3으로 확정한 뒤에도 첫째항 a는 아직 무수히 많은 값을 가질 수 있고, 그중 조건을 만족하는 a만 골라내야 비로소 a4의 최댓값을 말할 수 있습니다. ‘조건을 만족하는 모든 수열’이라는 표현을 가볍게 넘기지 않는 학생이 끝까지 갑니다.
단계별 힌트
첫째항을 a, 공비를 r이라 하면 an=arn−1입니다. 조건 (가)의 log3a5−log3a3은 로그의 뺄셈이므로 log3a5a3=2, 즉 a5a3=9로 바꿔 쓸 수 있습니다.
등비수열에서 두 항의 비는 공비의 거듭제곱이라는 점을 떠올리세요. a5는 a3에서 두 칸 뒤의 항이므로 그 비는 r2입니다. 여기서 r의 값이 곧바로 하나로 정해지지 않는다는 것이 이 문제의 출발점입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
r2=9에서 r=3 또는 r=−3입니다. 둘 중 무엇인지는 조건 (나)가 결정합니다. a2a3=ar×ar2=a2r3인데, r3=r2×r=9r이므로 a2a3=9a2r입니다.
a2은 항상 0보다 크므로, 이 값이 음수가 되려면 r이 음수여야 합니다. 부호만 따져도 공비가 하나로 확정되는 구조입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
r=−3이므로 a3=9a, a5=81a입니다. a3을 자연수 m이라 두면 a5=9m도 자연수가 되어 조건 (가)는 저절로 만족됩니다. 즉 a3=m이라는 치환 하나로 조건 (가)가 끝납니다.
이제 a2a3을 m으로 나타내 보세요. a2=a3r이므로 a2a3=a32r=−m23입니다. 이것이 정수가 되려면 m이 어떤 수의 배수여야 할지 생각해 보세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② −9
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A로그 조건에서 공비의 제곱 구하기
log3a5−log3a3=2에서 log3a5a3=2이므로 a5a3=32=9입니다. 한편 a5a3=r2이므로 r2=9입니다. 이 단계에서는 r=±3까지만 알 수 있습니다.
STEP B부호 조건으로 공비를 하나로 확정하기
a2a3=ar×ar2=a2r3=9a2r이고 이 값이 음의 정수이므로 9a2r<0입니다. a2>0이므로 r<0, 따라서 r=−3이고 an=a×(−3)n−1입니다.
STEP C자연수 조건과 정수 조건으로 첫째항 좁히기
a3=9a, a5=81a이므로 a3=m(m은 자연수)이라 하면 a5=9m도 자연수입니다. 즉 a=m9입니다. 이때 a2a3=(−3a)×9a=−27a2=−27×m281=−m23이고, 이 값이 음의 정수가 되려면 m2이 3의 배수, 즉 m이 3의 배수여야 합니다. m=3k(k는 자연수)로 두면 a=3k9=k3입니다.
STEP Da4의 최댓값 구하기
a4=k3×(−3)3=−9k이고 k는 자연수이므로 a4=−9k≤−9입니다. k=1일 때 등호가 성립하므로 a4의 최댓값은 −9, 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 첫째항 a를 끝까지 쓰지 않는 방법
첫째항 a를 도입하면 분수가 계속 따라다닙니다. 대신 a3=m 하나만 기준으로 삼으면 계산이 훨씬 짧아집니다. r=−3이므로 a2=a3r=−m3이고, a2a3=−m23이 음의 정수라는 조건에서 곧바로 m=3k를 얻습니다.
그리고 a4=a3×r=m×(−3)=−3m=−9k이므로 a는 한 번도 등장하지 않고 답이 나옵니다. 등비수열 문제에서 기준항을 a1이 아니라 조건이 걸린 항으로 잡는 습관은 Level 3 문항에서 시간을 크게 줄여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- r2=9에서 r=3이라고 단정하지 마세요. 등비수열에서 공비의 제곱만 주어지면 음수 공비가 반드시 후보이며, 이 문제는 오히려 음수 쪽이 답입니다.
- a2a3=a2r3에서 지수를 r2×r로 쪼개는 것이 핵심입니다. r3을 그대로 두면 이미 구한 r2=9를 활용하지 못합니다.
- ‘음의 정수’는 음수와 정수 두 가지 조건입니다. 부호만 쓰고 정수 조건을 빠뜨리면 m이 3의 배수라는 결론에 도달하지 못해 −3 같은 오답(③)으로 이어집니다.
- a4=−9k에서 k는 자연수이므로 값이 커질수록 a4는 작아집니다. 음수에서의 최댓값은 절댓값이 가장 작은 값이라는 점을 놓쳐 −15(①)를 고르는 실수가 잦습니다.
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