수능특강 수학Ⅰ 등차수열과 등비수열 Level 2 2번

02
빈출 유형

05 등차수열과 등비수열
S_n과 a_n의 관계
n=1 예외 처리

출제의도

이 문항은 수열의 합 S_n이 주어졌을 때 a_n=S_n−S_n−1(n≥2)을 정확히 쓸 수 있는지, 그리고 이 식이 n=1에서는 성립하지 않을 수 있다는 점을 알고 있는지를 정면으로 묻습니다.

S_n이 n에 대한 이차식이면 보통 등차수열이지만, 상수항 r이 0이 아니면 첫째항만 규칙에서 벗어납니다. 이 문항은 a₁=a₃=11이라는 조건으로 바로 그 예외 상황을 만들어 두었습니다. 계산 자체는 어렵지 않지만, n≥2 조건을 무심코 넘기면 r을 구할 수 없어 막히게 됩니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

S_n이 주어진 문제의 출발점은 언제나 두 줄입니다. 첫째, a₁=S₁. 둘째, n≥2일 때 a_n=S_n−S_n−1. 이 두 줄을 각각 따로 적어 두고 시작하세요.

a₁=S₁=p+q+r=11이라는 식이 첫 번째로 얻어집니다. 그다음 S_n−S_n−1을 직접 전개해서 a_n이 n에 대한 몇 차식이 되는지 확인해 보세요.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

n≥2일 때 a_n=(pn²+qn+r)−{p(n−1)²+q(n−1)+r}=2pn−p+q입니다. 상수항 r이 사라지는 것이 핵심으로, 그래서 n≥2에서는 a_n이 공차 2p인 등차수열 꼴이 됩니다.

조건 a_2n+1−a_2n=6은 결국 이웃한 두 항의 차, 즉 공차를 말하고 있습니다. 2n+1과 2n은 모두 2 이상이므로 위 식을 그대로 대입할 수 있고, 여기서 p가 곧바로 결정됩니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

p를 구한 뒤에는 a₃=11을 쓰세요. 3은 2 이상이므로 a_n=2pn−p+q에 n=3을 넣을 수 있고, 이 식에서 q가 나옵니다. a₁에는 절대 이 식을 쓰면 안 됩니다.

마지막으로 처음에 세운 p+q+r=11에 p, q를 넣어 r을 구한 뒤, S_n에 n=10을 대입하면 끝입니다. 굳이 항을 하나씩 더할 필요가 없다는 점도 기억하세요.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ① 272

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 등차수열과 등비수열 Level 2 2번 상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP Aa₁=S₁로 첫 식 세우기

a₁=S₁=p+q+r이고 a₁=11이므로 p+q+r=11 ⋯⋯ ㉠을 얻습니다. 이 식은 마지막에 r을 구할 때 쓰이므로 따로 적어 둡니다.

STEP Bn≥2에서 a_n 구하기

a_n=S_n−S_n−1=(pn²+qn+r)−{p(n−1)²+q(n−1)+r}=2pn−p+q입니다. 상수항 r이 소거된다는 점이 이 문항 전체의 구조를 만듭니다.

STEP C차 조건으로 p 결정하기

a_2n+1−a_2n={2p(2n+1)−p+q}−(2p·2n−p+q)=2p이고, 이것이 6이므로 p=3입니다.

STEP Da₃=11로 q, 이어서 r 구하기

n≥2일 때 a_n=6n−3+q이므로 a₃=18−3+q=11에서 q=−4입니다. ㉠에 대입하면 3−4+r=11이므로 r=12입니다.

STEP ES₁₀ 계산하기

S_n=3n²−4n+12이므로 S₁₀=300−40+12=272입니다.

1등급 다른 풀이 · 구조를 먼저 읽고 들어가기

S_n=pn²+qn+r에서 r≠0이면 수열은 “첫째항만 따로 있고, 둘째항부터는 등차수열”인 구조가 됩니다. 이 사실을 미리 알고 있으면 a₁=a₃=11이라는 조건이 왜 주어졌는지가 한눈에 보입니다. 둘째항부터의 공차가 6이므로 a₂=a₃−6=5, a₃=11, a₄=17 … 로 항이 곧바로 나열됩니다.

이 관점에서 계산하면 S₁₀=a₁+(a₂부터 a₁₀까지의 합)입니다. a₂부터 a₁₀까지는 첫째항 5, 공차 6, 항수 9인 등차수열이므로 그 합은 9(2·5+8·6)2=261이고, 여기에 a₁=11을 더하면 272입니다. 문자 p, q, r을 끝까지 구하지 않고도 답에 도달할 수 있습니다.

실수를 줄이는 전략

a_n=S_n−S_n−1은 n≥2에서만 유효합니다. 이 식에 n=1을 넣어 a₁=p+q로 계산하면 r을 구할 수 없어 문제가 풀리지 않습니다.
a₁=a₃이라는 조건을 보고 “상수수열”이라고 단정하지 마세요. 첫째항만 예외이므로 a₁과 a₃이 같아도 수열 전체는 증가합니다.
a_2n+1−a_2n을 홀수항과 짝수항의 차로 착각해 공차의 2배로 두는 실수가 있습니다. 번호 차이가 1이므로 그냥 이웃한 두 항의 차, 즉 2p입니다.
q=−4처럼 음수가 나오면 부호를 놓치기 쉽습니다. S_n=3n²−4n+12를 다시 쓴 뒤 n=1을 넣어 11이 나오는지 검산하세요.
S₁₀은 항을 10개 더할 필요 없이 S_n에 n=10을 대입하면 끝입니다. 합 공식을 다시 세우는 것은 시간 낭비입니다.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

수능특강 수학Ⅰ 메인포스트에서 전체 문항 보기