빈출 유형
Sn과 an의 관계
등비수열의 합
출제의도
이 문항은 부분합 Sn과 일반항 an 사이의 기본 관계 Sn+1−Sn=an+1을 알고 있는지를 곧바로 묻습니다. 이 한 줄만 떠올리면 주어진 조건이 그대로 일반항을 알려 주는 문항입니다.
그다음은 ‘제2항부터 제9항까지’라는 구간을 정확히 세어 등비수열의 합 공식에 넣는 일입니다. 항의 개수를 세는 일은 단순해 보이지만 수열 단원 전체에서 가장 실수가 많이 나오는 지점이라, Level 1에서 손에 익혀 두어야 할 동작입니다.
단계별 힌트
Sn은 첫째항부터 제n항까지의 합입니다. 그러면 Sn+1은 거기에 항 하나가 더 붙은 합이므로, 두 합의 차이는 새로 붙은 항 하나뿐입니다.
즉 Sn+1−Sn=an+1입니다. 이 관계를 주어진 조건에 그대로 대입하면 an+1이 무엇인지 바로 알 수 있습니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
an+1=2n이므로 n에 1, 2, 3, …을 차례로 넣어 보세요. a2=21, a3=22, a4=23… 과 같이 항 번호보다 지수가 항상 1만큼 작다는 것이 보입니다.
구하려는 것은 a2부터 a9까지의 합이므로, 이는 21부터 28까지를 더하는 것과 같습니다. 첫째항이 2이고 공비가 2인 등비수열의 합이 되는 셈입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
항의 개수를 세어 보세요. 제2항부터 제9항까지는 9−2+1=8개입니다. 첫째항 a=2, 공비 r=2, 항의 개수 8이므로 등비수열의 합 공식 a(rn−1)r−1에 그대로 대입하면 됩니다.
참고로 이 조건만으로는 a1의 값을 알 수 없습니다. 하지만 문제가 묻는 것은 제2항부터이므로 답을 구하는 데는 아무 지장이 없습니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 510
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A합의 차를 항으로 바꾸기
모든 자연수 n에 대하여 Sn+1−Sn=an+1이므로, 주어진 조건은 곧 an+1=2n입니다. 조건 자체가 일반항을 알려 주는 형태로 바뀌었습니다.
STEP B구하는 구간을 등비수열로 바라보기
수열 {an}의 제2항부터 제9항까지의 합은 수열 {an+1}의 제1항부터 제8항까지의 합과 같습니다. an+1=2n이므로 이는 21+22+…+28, 즉 첫째항이 2이고 공비가 2인 등비수열의 첫째항부터 제8항까지의 합입니다.
STEP C등비수열의 합 공식으로 마무리하기
따라서 구하는 합은 2×(28−1)2−1=2×(256−1)=2×255=510이고, 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · S9−S1로 한 번에 계산하기
제2항부터 제9항까지의 합은 정의상 S9−S1입니다. 그런데 주어진 조건 Sn+1−Sn=2n을 n=1부터 n=8까지 모두 더하면 좌변은 (S2−S1)+(S3−S2)+…+(S9−S8)처럼 중간 항이 모두 소거되어 S9−S1만 남습니다.
우변은 21+22+…+28이므로 같은 값 510이 나옵니다. 이렇게 차의 꼴을 연달아 더하면 중간이 사라진다는 아이디어(망원합)는 수열의 합 단원과 귀납법 단원에서 계속 쓰이므로, 이 쉬운 문항에서 구조를 확인해 두면 좋습니다. 덧붙여 21+…+28=29−2=512−2=510이라는 2의 거듭제곱 합 패턴도 외워 두면 계산이 한 줄로 끝납니다.
실수를 줄이는 전략
- Sn+1−Sn=2n에서 an=2n으로 잘못 읽는 실수가 가장 많습니다. 차이로 나오는 항은 an이 아니라 an+1입니다.
- 이 조건만으로는 a1을 알 수 없습니다. 첫째항을 임의로 20=1이라고 넣으면 제1항까지 더하게 되어 틀립니다. 문제가 제2항부터 물은 이유가 바로 이것입니다.
- 제2항부터 제9항까지의 항의 개수는 8개입니다. 9−2=7로 세면 항이 하나 빠져 254가 나오는데, 이것이 오답 ①로 배치되어 있습니다.
- 등비수열의 합 공식에서 분모는 r−1입니다. 공비가 2이면 분모가 1이라 그냥 넘어가기 쉽지만, 공비가 다른 문항에서는 분모를 빠뜨리는 실수가 자주 나옵니다.
“수능특강 수학Ⅰ 등차수열과 등비수열 Level 1 8번”에 대한 1개의 생각