기초 필수
등비수열의 일반항
부호 조건 처리
출제의도
이 문항은 ‘첫째항과 공비가 같다’는 조건을 일반항으로 압축할 수 있는지, 그리고 모든 자연수 n에 대해 성립하는 부호 조건을 공비의 범위로 바꿀 수 있는지를 확인합니다.
r4=16만 보면 r=2와 r=−2 두 가지가 나오지만, 문제는 그중 하나만 답이 되도록 부호 조건을 미리 깔아 두었습니다. 방정식을 푼 뒤 조건에 맞는 해를 걸러내는 이 두 단계 구조는 Level 2·3에서 반복해서 등장하므로, 쉬운 문항에서 절차를 몸에 익혀 두는 것이 목적입니다.
단계별 힌트
등비수열의 일반항은 an=a1rn−1입니다. 그런데 이 문제는 첫째항과 공비가 같다고 했으므로 a1=r입니다.
이것을 일반항에 대입하면 지수가 하나로 합쳐지면서 식이 아주 단순해집니다. 미지수가 r 하나만 남는다는 점이 이 문제의 출발점입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
a1=r이므로 an=r×rn−1=rn입니다. 그러면 anan+1=rn×rn+1=r2n+1이 됩니다.
여기서 지수 2n+1은 항상 홀수입니다. 음수를 홀수 번 곱하면 음수이고, 양수를 몇 번 곱해도 양수라는 사실을 떠올리면 r의 부호가 정해집니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
부호 조건에서 r의 범위를 먼저 확정한 뒤, a4=16을 r4=16으로 바꿔 r를 구하세요.
r4=16을 풀 때는 r4−16=(r2+4)(r+2)(r−2)=0처럼 인수분해하면 실수 해가 r=±2뿐임이 분명해집니다. 마지막으로 구하는 값이 r가 아니라 a1이라는 점만 확인하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A일반항을 rn으로 정리하고 부호 조건 읽기
공비를 r라 하면 a1=r이므로 an=r×rn−1=rn입니다. 모든 자연수 n에 대해 anan+1=r2n+1>0이어야 하는데, 2n+1이 홀수이므로 r>0입니다.
STEP Ba4=16에서 공비를 확정하기
a4=r4=16에서 (r2+4)(r+2)(r−2)=0이므로 실수 해는 r=2 또는 r=−2입니다. STEP A에서 r>0이므로 r=2이고, 따라서 a1=r=2이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 부호 조건을 항의 부호로 바로 해석하기
지수 계산 없이도 결론을 낼 수 있습니다. anan+1>0은 이웃한 두 항의 부호가 항상 같다는 뜻입니다. 공비가 음수이면 항의 부호가 +, −, +, −로 번갈아 바뀌어 이웃한 두 항의 곱이 반드시 음수가 되므로 조건에 어긋납니다.
따라서 공비는 양수여야 하고, a4=16>0과도 모순 없이 맞아떨어집니다. 여기에 a1=r를 대입해 r4=16, r=2를 얻습니다. 조건을 식으로 바꾸기 전에 ‘부호가 번갈아 바뀌는가’를 먼저 떠올리면 등비수열 문항의 절반은 암산으로 방향이 잡힙니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘첫째항과 공비가 같다’를 놓치고 a1과 r를 서로 다른 미지수로 두면 식이 하나 부족해 풀리지 않습니다. 조건 문장을 먼저 a1=r로 적어 두세요.
- an=r×rn−1을 rn−1 그대로 두는 실수가 많습니다. 지수를 합쳐 rn으로 만들어야 a4=r4이 깔끔하게 나옵니다.
- r4=16에서 r=2라고 곧바로 단정하지 말고, r=−2도 실수 해임을 확인한 뒤 부호 조건으로 걸러내는 순서를 지키세요. 선택지 ①의 −4, ②의 −2는 이 과정을 건너뛴 학생을 노린 것입니다.
- 마지막에 묻는 것은 공비가 아니라 a1입니다. 이 문제에서는 둘이 같아 다행이지만, 조건이 바뀌면 달라지므로 항상 질문을 다시 읽는 습관을 들이세요.
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