빈출 유형
부분합 구하기
첫째항·끝항 활용
출제의도
이 문항은 첫째항과 공차를 굳이 구하지 않고도 부분합을 구할 수 있는지를 묻습니다. 등차수열의 합 공식 중 S=(항의 개수)×(첫항+끝항)2 형태를 쓰면, 필요한 것은 a3+a9라는 ‘합’ 하나뿐입니다.
주어진 두 조건은 a3+a7=10과 a7−a9=2입니다. 두 식을 변끼리 빼면 공통으로 들어 있는 a7이 사라지면서 곧바로 a3+a9가 나옵니다. 미지수를 잡고 연립방정식을 푸는 대신 조건식을 그대로 조작하는 안목을 기르는 것이 이 문항의 핵심입니다.
단계별 힌트
제3항부터 제9항까지의 합도 결국 등차수열의 합입니다. 항의 개수는 9−3+1=7개이고, 첫 항은 a3, 끝 항은 a9입니다.
등차수열의 합은 (항의 개수)×(첫항+끝항)2로 구할 수 있으므로, 구해야 할 값은 7×(a3+a9)2입니다. 즉 a3+a9만 알면 됩니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
목표가 a3+a9라는 것을 알았다면, 주어진 두 식을 다시 보세요. a3+a7=10에는 a3가 있고, a7−a9=2에는 a9가 있습니다. 공통으로 들어 있는 항은 a7입니다.
두 식을 변끼리 빼면 a7−(−a9)가 되어 a7은 사라지고 a9는 남습니다. 부호 처리에 주의하며 (a3+a7)−(a7−a9)를 직접 계산해 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
변끼리 빼면 좌변은 a3+a9, 우변은 10−2가 됩니다. 여기서 얻은 값을 7×(a3+a9)2에 넣으면 됩니다. 항의 개수를 9−3=6이 아니라 7로 세었는지 마지막으로 한 번 더 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 28
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 식을 변끼리 빼서 a3+a9 구하기
a3+a7=10에서 a7−a9=2를 변끼리 빼면 좌변은 (a3+a7)−(a7−a9)=a3+a9가 되고, 우변은 10−2=8이 됩니다. 즉 a3+a9=8입니다.
STEP B항의 개수를 세어 합 공식에 대입하기
제3항부터 제9항까지는 모두 7개의 항입니다. 따라서 그 합은 7×(a3+a9)2=7×82=28이므로 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 일반항을 직접 구해 확인하기
조건을 첫째항 a와 공차 d로 바꿔 써도 됩니다. a7−a9=−2d=2이므로 d=−1이고, a3+a7=(a+2d)+(a+6d)=2a+8d=10에 d=−1을 넣으면 2a−8=10, 즉 a=9입니다. 따라서 an=9+(n−1)×(−1)=−n+10입니다.
이때 a3=7, a9=1이므로 제3항부터 제9항까지의 합은 7×(7+1)2=28로 같은 값이 나옵니다. 또는 S9−S2로 계산해도 됩니다. 시간이 남을 때 이 방법으로 검산하면 부호 실수를 확실히 걸러낼 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 제3항부터 제9항까지의 항의 개수는 9−3=6이 아니라 9−3+1=7입니다. 양 끝을 모두 포함하므로 1을 더해야 합니다.
- 두 식을 더하지 말고 빼야 a7이 사라집니다. a7−a9의 앞에 붙는 마이너스가 a9를 플러스로 바꾼다는 점을 꼼꼼히 확인하세요.
- a7−a9=2에서 공차를 d=2로 단정하면 안 됩니다. a7−a9=−2d이므로 실제 공차는 −1입니다.
- 부분합은 S9−S2로도 구할 수 있습니다. 이때 빼는 것은 S3가 아니라 S2라는 점을 기억하세요. a3까지 빼 버리면 답이 달라집니다.
엄선된 풀이 영상
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