고난도
킬러 대비
삼각함수의 그래프
방정식의 실근 개수
그래프의 대칭성
출제의도
이 문항은 두 개의 삼각함수 식을 이어 붙인 함수의 그래프를 직접 그려 보고, 수평선 y=k와 몇 번 만나는지를 눈으로 세어 조건을 해석할 수 있는지를 묻습니다. 실근의 개수 조건은 결국 “가로선을 위아래로 움직일 때 교점 개수가 어떻게 변하는가”를 묻는 것이므로, 식을 붙들고 계산하기 전에 개형을 그리는 것이 출발점입니다.
특히 “실근이 오직 한 개가 되는 값이 −2뿐”이라는 조건은 최솟값 정보만 주는 것처럼 보이지만, 실제로는 최댓값 쪽에서도 실근이 한 개가 되면 안 된다는 정보까지 함께 담고 있습니다. 이 두 번째 정보를 읽어내야 미지수 두 개를 결정할 식 두 개가 확보되므로, 조건을 양방향으로 읽는 훈련이 이 문항의 핵심입니다. 마지막에 세 실근의 합을 구할 때는 근을 하나씩 구하지 않고 그래프의 대칭축을 쓰는 것이 정석입니다.
단계별 힌트
조각으로 정의된 함수를 만나면 가장 먼저 이음매에서 값이 이어지는지를 확인하세요. 두 번째 식에 x=a를 넣어 보면 b sin a−b sin a+cos a=cos a가 되어 첫 번째 식의 끝값과 정확히 같습니다. 즉 이 그래프는 끊긴 곳 없이 한 줄로 이어진 곡선입니다.
또 두 번째 식은 y=b sin x를 위아래로만 평행이동한 것이므로, 최대·최소가 되는 x의 위치는 사인함수 그대로 x=π2, 3π2입니다. 위치는 그대로이고 높이만 바뀐다는 점을 기억하고 개형을 그려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
연속인 함수에서 수평선 y=l과의 교점이 정확히 한 개가 되는 값은 보통 그래프의 꼭대기(최댓값)나 바닥(최솟값)에서 생깁니다. 그런데 그런 값이 −2 하나뿐이라고 했으므로, 두 가지를 동시에 읽어야 합니다.
첫째, 바닥은 −2이고 그 높이에 닿는 점이 한 개여야 합니다. 둘째, 꼭대기 쪽에서는 교점이 한 개가 되면 안 됩니다. 그런데 x=0에서 함숫값이 1이므로, 최댓값이 1보다 크면 그 최댓값이 실근 1개를 만들어 조건에 어긋나고, 최댓값이 1보다 작으면 이번에는 y=1이 x=0에서만 만나 또 조건에 어긋납니다.
따라서 최댓값은 정확히 1이어야 하고, 그 값이 오른쪽 끝에서 한 번 더 나와야 합니다. 여기까지 오면 b와 a를 묶는 식 두 개를 세울 수 있습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
세운 두 식을 변끼리 빼면 sin a, cos a가 한꺼번에 사라지면서 b의 값이 바로 나옵니다. 그 b를 다시 대입하면 sin a와 cos a만 남은 일차식이 되므로, 한쪽을 넘기고 양변을 제곱한 뒤 sin2a=1−cos2a를 써서 cos a를 구하세요. 제곱할 때 생기는 무연근은 cos a의 부호로 걸러냅니다.
마지막 세 실근의 합은 하나씩 구하려 하지 마세요. 첫 조각은 x=π에 대하여, 둘째 조각은 x=3π2에 대하여 좌우 대칭이므로, 대칭축은 두 근의 한가운데라는 성질로 세 근의 합을 a만의 식으로 정리할 수 있습니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 125
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aa의 위치에 따라 개형을 그려 범위를 좁히기
a가 놓일 수 있는 구간을 네 가지로 나누어 개형을 그려 봅니다. a가 π2보다 작으면 세 실근을 만드는 k가 구간 전체에 걸쳐 무수히 많아지고, π2≤a≤π이거나 a≥3π2이면 세 실근을 만드는 k가 아예 없습니다. 세 실근을 주는 k가 정확히 두 개인 상황은 π<a<3π2일 때뿐입니다.
STEP B실근 1개 조건에서 식 두 개 뽑아내기
이 범위에서 그래프의 바닥은 x=3π2, 꼭대기는 x=0과 x=2π입니다. 실근이 한 개인 값이 −2뿐이라는 조건에서 f(3π2)=−2, f(2π)=1을 얻습니다. 각각을 식으로 쓰면 −b−b sin a+cos a=−2 … ㉠, −b sin a+cos a=1 … ㉡입니다.
STEP Cb와 cos a 결정하기
㉡−㉠을 하면 sin a, cos a가 통째로 사라지고 b=3이 나옵니다. 이를 ㉡에 넣으면 −3 sin a=1−cos a이고, 양변을 제곱해 9(1−cos2a)=(1−cos a)2으로 정리합니다. cos a<0이어서 1−cos a≠0이므로 양변을 1−cos a로 나누면 9(1+cos a)=1−cos a, 즉 cos a=−45입니다.
STEP D세 실근을 대칭축으로 잡아내기
세 실근을 주는 두 값은 k1=cos π=−1, k2=cos a입니다. k2에 대한 세 실근을 α<β<γ라 하면 가운데 근은 이음매인 β=a이고, 앞의 두 근은 x=π에 대하여, 뒤의 두 근은 x=3π2에 대하여 대칭입니다. 따라서 α+β2=π에서 α=2π−a, β+γ2=3π2에서 γ=3π−a입니다.
STEP E합을 대입해 마무리
θ=α+β+γ=(2π−a)+a+(3π−a)=5π−a이므로 cos θ=cos(5π−a)=cos(π−a)=−cos a입니다. 그러므로 b cos θ=3×45=125이고 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 최솟값과 최댓값의 위치만으로 몰아가기
a의 네 가지 경우를 모두 그리는 대신, 바닥과 꼭대기가 어디에 있어야 하는지만 따져도 답이 나옵니다. 실근이 한 개인 값이 −2뿐이므로 이 함수의 최솟값은 −2입니다. 그런데 0≤x≤a에서는 cos x≥−1이므로 −2는 반드시 두 번째 조각에서 나와야 합니다.
만약 a>3π2이면 a<x≤2π에서 sin x가 sin a보다 커지기만 하므로 함숫값이 cos a보다 작아질 수 없어 −2에 도달하지 못합니다. 따라서 a≤3π2이고 최솟값은 x=3π2에서 나옵니다.
이제 a≤x≤2π에서의 최댓값을 M이라 두고 셋으로 나눕니다. M>1이면 y=M이 실근을 한 개만 주어 조건에 어긋나고, M<1이면 y=1이 x=0에서만 만나 역시 어긋납니다. 남은 M=1인 경우에도 a≤π2이면 세 실근을 주는 k가 구간 전체로 무수히 많아지므로 배제되고, 결국 최댓값 1은 x=2π에서 나옵니다. 이렇게 해도 ㉠, ㉡이 그대로 나와 b=3, cos a=−45에 도달합니다.
실수를 줄이는 전략
- 조각함수는 이음매에서 값이 같은지부터 확인하세요. 두 번째 식의 −b sin a+cos a는 우연히 붙은 상수가 아니라 그래프를 이어 붙이려고 설계된 항입니다. 이어져 있다는 사실을 놓치면 개형 자체가 틀어집니다.
- “실근이 한 개인 값이 −2뿐”을 최솟값 조건으로만 읽으면 식이 하나밖에 안 나옵니다. 꼭대기에서도 실근이 한 개가 되면 안 된다는 뜻까지 읽어야 f(2π)=1이라는 두 번째 식이 나옵니다.
- 양변을 제곱하는 순간 무연근이 생깁니다. −3 sin a=1−cos a에서 우변이 0 이상이므로 sin a≤0, 즉 a가 π보다 크다는 점과 cos a<0이어서 1−cos a로 나눌 수 있다는 점을 반드시 확인하고 넘어가세요.
- 세 실근을 각각 구하려고 삼각방정식을 풀면 시간이 크게 늘어납니다. 대칭축이 두 근의 한가운데라는 성질을 쓰면 α와 γ가 a만의 식으로 한 줄에 나옵니다.
- 마지막 cos(5π−a)를 정리할 때 부호를 놓치면 −125가 되어 선택지에 없는 값이 나옵니다. 5π−a는 π−a와 같은 위치이므로 cos 값은 −cos a임을 확실히 하세요.
엄선된 풀이 영상
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