실력 완성
삼각함수의 그래프와 주기
k값에 따른 경우 나누기
출제의도
이 문항은 괄호 안의 k2π라는 위상 이동을 보고 “k가 1, 2, 3, 4일 때 그래프가 각각 어떤 모양인가?”를 먼저 정리할 수 있는지를 확인합니다. k가 1씩 커질 때마다 그래프가 π2씩 밀리므로, 네 가지 경우는 a cos bx, −a sin bx, −a cos bx, a sin bx라는 익숙한 네 가지 모양으로 바뀝니다.
또 정의역 −2πb≤x≤2πb의 길이가 정확히 주기 두 개라는 점을 알아차려야 합니다. 두 주기 안에서 직선 y=3과 만나는 네 점의 ‘간격’이 그래프 모양마다 어떻게 달라지는지를 비교하는 것이 이 문항의 핵심이며, 조건 x4−x1=5(x3−x2)를 만족할 수 있는 모양은 단 하나뿐입니다.
단계별 힌트
k는 1, 2, 3, 4 네 개뿐이니 경우를 나누면 됩니다. sin(θ+π2)=cos θ, sin(θ+π)=−sin θ, sin(θ+3π2)=−cos θ, sin(θ+2π)=sin θ를 이용해 f(x)를 네 가지 모양으로 바꿔 보세요.
그리고 함수의 주기가 2πb이므로 정의역의 길이 4πb는 주기 두 개입니다. 네 경우 모두 그래프를 두 주기만큼 그린 뒤 y=3을 그어 보면 됩니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
그래프를 그려 보면 두 부류로 나뉩니다. k=2, 3, 4일 때는 y=3 위로 솟은 봉우리 두 개가 각각 교점 두 개씩을 가지므로 x1, x2가 한 봉우리, x3, x4가 다른 봉우리에 있습니다. 이때 x3−x2는 골짜기를 건너는 간격이라 주기의 절반보다 길어서, 5배를 하면 x4−x1보다 커져 버립니다.
반면 k=1(a cos bx)일 때는 봉우리가 x=0 한가운데와 양 끝에 있습니다. 가운데 봉우리에 x2, x3이 있고, x1, x4는 양 끝 봉우리에 있으므로 x3−x2가 짧고 x4−x1이 긴 구조가 만들어집니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
k=1일 때 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로 x3=α로 두면 x2=−α입니다. 또 주기가 2πb이므로 x1=−2πb+α, x4=2πb−α로 쓸 수 있습니다. 이 네 값을 조건식에 넣어 α와 b를 구한 뒤, x3에서 함숫값이 3이라는 사실로 a를 구하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ak에 따라 f(x)를 네 가지 모양으로 바꾸기
k=1이면 a cos bx, k=2이면 −a sin bx, k=3이면 −a cos bx, k=4이면 a sin bx입니다. 주기는 모두 2πb이고 정의역은 주기 두 개 길이이므로, 각 경우의 그래프를 두 주기만큼 그리고 직선 y=3과의 교점 네 개를 표시합니다.
STEP B조건을 만족하지 않는 경우 걸러내기
k=2, 3, 4일 때는 x1, x2와 x3, x4가 서로 다른 봉우리에 있어서 x4−x1<3πb이고 x3−x2>πb입니다. 그러면 5(x3−x2)>5πb이므로 두 값이 같아질 수 없습니다. 따라서 k=1뿐입니다.
STEP C대칭성으로 α, b, a 차례로 구하기
x3=α로 두면 x3−x2=2α=π에서 α=π2이고, x4−x1=4πb−2α=5π에서 4πb=6π, 즉 b=23입니다. 이제 f(π2)=a cosπ3=a2=3에서 a=6이므로 a×b=6×23=4, 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 교점 사이의 ‘폭’과 주기로 한 번에 판단하기
좌표를 α로 두지 않고, 한 봉우리가 y=3 위로 솟은 구간의 폭을 w, 주기를 T라고 두면 네 경우를 한꺼번에 비교할 수 있습니다. y=3은 x축보다 위에 있으므로 봉우리의 폭 w는 항상 T2보다 작고, 이웃한 두 봉우리 사이의 간격은 T−w입니다.
k=2, 3, 4이면 x2−x1=x4−x3=w, x3−x2=T−w이므로 조건은 2w+(T−w)=5(T−w), 즉 w=2T3가 되어 w<T2에 모순입니다. k=1이면 x3−x2=w, x4−x1=2T−w이므로 2T−w=5w=5π에서 w=π, T=3π이고 b=23입니다. 봉우리의 절반 폭 π2에서 bx=π3이므로 a cosπ3=3, a=6을 얻습니다. 교점이 여러 개인 삼각함수 문항에서는 이렇게 ‘폭’과 ‘간격’으로 관계식을 세우면 경우 비교가 훨씬 빨라집니다.
실수를 줄이는 전략
- 괄호 안 순서가 bx+k2π라서 헷갈릴 수 있지만, 위상 이동 공식을 적용할 때는 k2π를 더한 것으로 보고 sin(θ+π2)=cos θ처럼 차분히 바꾸세요. 부호(−sin, −cos)를 놓치면 그래프 모양이 완전히 달라집니다.
- 정의역 −2πb≤x≤2πb의 길이가 주기 두 개라는 점을 먼저 확인하세요. 이것을 놓치면 교점이 몇 개 생기는지, 양 끝에서 그래프가 어디서 끝나는지를 잘못 그리게 됩니다.
- k=1일 때 x1, x4를 가운데 봉우리 기준으로 잡으면 안 됩니다. 양 끝 봉우리에 있는 교점이므로 x1=−2πb+α, x4=2πb−α처럼 주기를 이용해 표현해야 합니다.
- b를 구한 뒤 a를 정하는 단계에서 실수가 잦습니다. a는 교점 x=α에서 함숫값이 3이라는 조건 f(α)=3으로 구하며, 이때 bα=23×π2=π3을 정확히 계산해야 cos 값 12을 얻습니다. 마지막에 a×b까지 계산했는지 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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