기초 필수
삼각함수의 주기와 최댓값
연립방정식 세우기
출제의도
이 문항은 사인함수와 코사인함수의 식을 보고 주기와 최댓값을 바로 읽어 낼 수 있는지를 확인합니다. “주기가 같다”, “최댓값이 같다”라는 두 조건이 그대로 두 개의 방정식이 되고, 이를 연립하면 a와 b가 한 번에 결정되는 구조입니다.
a>0, b>0이라는 조건 덕분에 절댓값을 따로 처리할 필요는 없습니다. 대신 코사인함수의 x 계수가 분수 꼴이라 주기를 구할 때 분수의 나눗셈을 정확히 해야 하고, 최댓값을 구할 때 뒤에 더해진 b를 빠뜨리지 않아야 합니다. 계산은 짧지만 기본 공식을 정확히 쓰는지 점검하는 문항입니다.
단계별 힌트
y=p sin qx+r, y=p cos qx+r 꼴의 함수에서 주기는 2π|q|, 최댓값은 |p|+r입니다. 사인이든 코사인이든 공식은 똑같습니다.
두 함수 f(x), g(x) 각각에서 p, q, r에 해당하는 수가 무엇인지 먼저 표시해 보세요. g(x)는 코사인 앞에 곱해진 수가 1이라는 점도 함께 확인하세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(x)는 p=2a, q=b, r=0이므로 주기는 2πb, 최댓값은 2a입니다. a>0, b>0이므로 절댓값은 신경 쓰지 않아도 됩니다.
g(x)는 p=1, q=a2, r=b입니다. 주기는 2π를 a2로 나눈 값이고, 최댓값은 코사인의 최댓값 1에 b를 더한 값입니다. 2π÷a2을 직접 계산해 보세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
“주기가 같다”에서 방정식 하나, “최댓값이 같다”에서 방정식 하나가 나옵니다. 첫 번째 식을 정리해 a를 b에 대한 식으로 나타낸 뒤, 두 번째 식에 대입하면 b부터 구할 수 있습니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 함수의 주기와 최댓값 구하기
f(x)=2a sin bx의 주기는 2πb이고 최댓값은 2a입니다. g(x)=cos a2x+b의 주기는 2π÷a2=4πa이고 최댓값은 1+b입니다.
STEP B두 조건을 방정식으로 바꿔 연립하기
주기가 같으므로 2πb=4πa에서 a=2b이고, 최댓값이 같으므로 2a=1+b입니다. a=2b를 대입하면 4b=1+b, 3b=1이므로 b=13, a=23입니다. 따라서 a+b=23+13=1이고 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · x의 계수 비교로 주기 조건 한 줄에 끝내기
주기는 2π를 x의 계수로 나눈 값이므로, 두 함수의 주기가 같다는 것은 x의 계수(의 절댓값)가 같다는 것과 완전히 같은 말입니다. f(x)의 x 계수는 b, g(x)의 x 계수는 a2이므로 곧바로 b=a2, 즉 a=2b를 얻습니다.
이렇게 하면 4πa 같은 분수 계산을 아예 거치지 않아도 됩니다. “주기가 같다 → x의 계수가 같다”, “최댓값·최솟값 조건 → 진폭과 평행이동 비교”처럼 조건을 계수 비교로 바로 번역하는 연습을 해 두면 삼각함수 결정 문항의 풀이 시간이 크게 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- g(x)의 주기를 계산할 때 2π÷a2을 πa나 πa로 잘못 쓰는 실수가 많습니다. 분수로 나누는 것은 역수를 곱하는 것이므로 2π×2a=4πa입니다.
- g(x)의 최댓값은 코사인 부분의 최댓값 1에 평행이동한 b를 더한 1+b입니다. b를 빠뜨리고 최댓값을 1로 두면 방정식 자체가 달라집니다.
- f(x)의 최댓값은 sin 앞에 곱해진 2a입니다. 이 문항은 a>0이라 그대로 쓰면 되지만, 계수의 부호가 정해지지 않은 문항에서는 |2a|로 써야 한다는 점을 함께 기억하세요.
- 문제에서 묻는 것은 a와 b 각각이 아니라 a+b입니다. b=13을 구한 뒤 a까지 구하고 두 값을 더하는 마지막 단계를 빠뜨리지 마세요.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.