고난도
로그의 밑 통일
자연수 조건과 완전제곱수
격자점 개수 세기
출제의도
이 문항은 네 가지 동작을 한 줄로 이어 붙인 Level 3 문항입니다. 밑이 다른 두 로그를 같은 밑으로 맞춰 교점 조건을 이차방정식으로 바꾸고, “교점의 x좌표가 자연수”라는 조건에서 숨어 있는 완전제곱 구조를 찾아내고, 부등식을 만족시키는 자연수의 개수 조건으로 n과 m을 확정한 뒤, 마지막으로 곡선으로 둘러싸인 도형 안의 격자점을 세야 합니다.
각 단계는 어렵지 않지만 한 단계라도 흔들리면 뒤가 모두 무너집니다. 특히 마지막 격자점 세기에서 x좌표부터 하나씩 대입하면 시간이 크게 늘어나므로, 경계에 있는 로그값의 범위를 먼저 확인해 가능한 y좌표를 좁히는 판단이 이 문항의 핵심입니다.
단계별 힌트
두 곡선의 밑이 3과 9로 다르므로 그대로는 비교할 수 없습니다. 9=32이므로 log9x=12log3x처럼 밑을 3으로 통일해 보세요.
밑을 맞추면 교점 조건은 (x−n)2=x라는 이차방정식이 됩니다. 이때 진수 조건 때문에 x>n이어야 한다는 점도 함께 적어 두세요. 교점의 x좌표가 m이므로 (m−n)2=m이 성립합니다.
힌트 2단계 · 사용할 조건 누르면 힌트가 열려요
n+1<t<m을 만족시키는 자연수 t는 n+2부터 m−1까지입니다. 양 끝이 모두 빠지므로 그 개수는 m−n−2입니다. 개수가 4라는 조건을 식으로 쓰면 m−n의 값이 바로 나옵니다.
이 값을 1단계에서 얻은 (m−n)2=m에 넣으면 m과 n이 한 번에 결정됩니다. 근의 공식을 쓰지 않아도 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
도형의 세 꼭짓점에서 y좌표는 각각 log36, log950, log320입니다. 이 세 값이 어느 두 정수 사이에 있는지 먼저 확인하면, 도형 안에서 y좌표가 될 수 있는 자연수는 단 하나뿐이라는 것을 알 수 있습니다.
그 y값에 대해 위쪽 곡선보다 아래, 아래쪽 곡선보다 위에 있는 x의 범위를 구하고, 둘레 위의 점도 포함한다는 점에 주의해 개수를 세어 보세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 12
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A밑을 3으로 통일해 교점 조건을 이차방정식으로 바꾸기
log9x=12log3x이므로 교점 조건은 2log3(x−n)=log3x, 즉 (x−n)2=x입니다. 정리하면 x2−(2n+1)x+n2=0이고, 진수 조건 x>n에 의해 큰 근만 남아 m=2n+1+√(4n+1)2입니다.
STEP B자연수 조건과 개수 조건으로 n, m 확정하기
m이 자연수가 되려면 4n+1이 홀수의 제곱이어야 하므로 4n+1=(2l+1)2으로 두면 n=l(l+1), m=n+l+1=(l+1)2입니다. 해설에서는 l=1, 2, 3, …을 차례로 넣어 t의 개수가 0, 1, 2, 3, 4로 하나씩 늘어나는 것을 확인하고, 개수가 4가 되는 l=5에서 n=30, m=36을 얻습니다.
STEP C가능한 y좌표를 먼저 좁히고 x의 범위 세기
36≤x≤50에서 위쪽 경계는 y=log3(x−30), 아래쪽 경계는 y=log9x입니다. 1<log36<2, 1<log950<2, 2<log320<3이므로 도형 안의 자연수 y좌표는 2뿐입니다. y=2가 위쪽 곡선 아래에 있으려면 log3(x−30)≥2, 즉 x≥39이고, 아래쪽 곡선 조건은 x≤50에서 자동으로 만족됩니다. 따라서 (39, 2)부터 (50, 2)까지 50−39+1=12개이고 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 근의 공식 없이 m−n=√m으로 한 번에
교점의 x좌표가 m이므로 (m−n)2=m이 성립하고, 진수 조건에서 m−n>0이므로 m−n=√m입니다. 한편 n+1<t<m인 자연수 t는 n+2, n+3, …, m−1이므로 그 개수는 m−n−2입니다.
개수가 4이므로 m−n=6이고, 이것이 √m과 같으므로 m=62=36, n=36−6=30입니다. 근의 공식과 경우 나누기를 모두 건너뛸 수 있습니다. 이 구조를 일반화하면 m은 항상 완전제곱수 k2이고 n=k2−k, t의 개수는 k−2가 됩니다. 교점의 좌표를 미지수로 두고 조건식에 직접 대입하는 습관은 로그함수 교점 문항에서 계산량을 크게 줄여 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- 이차방정식의 두 근 중 작은 근은 x>n을 만족시키지 않습니다. 진수 조건은 식을 세우는 순간 함께 적어 두어야 근을 고를 때 흔들리지 않습니다.
- n+1<t<m처럼 양 끝이 모두 빠지는 부등식에서 자연수의 개수는 m−n−2입니다. m−n−1로 세면 m−n=5가 되어 5가 제곱근이 되는 모순이 생기므로, 이상한 값이 나오면 개수 세기부터 다시 확인하세요.
- 둘러싸인 도형에서 어느 곡선이 위쪽인지 x=50에서의 함숫값으로 확인하세요. log320이 log950보다 크므로 위쪽 경계는 y=log3(x−30)입니다.
- 격자점은 x좌표부터 하나씩 대입하지 말고, 꼭짓점의 로그값 범위로 가능한 y좌표를 먼저 좁히세요. y=1이나 y=3이 불가능하다는 것을 확인하면 y=2 한 줄만 세면 됩니다.
- 문제에서 둘레 위의 점도 포함하므로 x=39와 x=50을 모두 셉니다. 50−39=11로 끝내면 선택지 ①에 걸립니다.
엄선된 풀이 영상
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