기본 핵심
지수함수의 그래프와 점근선
직선 x=1에 대한 대칭
출제의도
이 문항은 두 지수함수 f(x)=ax, g(x)=a2−x의 관계를 식으로 읽어 낼 수 있는지를 확인합니다. g(x)는 f(x)의 x 자리에 2−x를 넣은 것이므로, 두 그래프는 직선 x=1을 사이에 두고 서로 마주 보는 모양이 됩니다.
ㄱ은 평행이동과 점근선, ㄴ은 밑 a의 범위에 따른 대소 관계, ㄷ은 대칭성을 묻습니다. 세 보기가 모두 ‘두 그래프가 x=1에서 만나고 x=1에 대하여 대칭’이라는 하나의 그림에서 나오므로, 이 그림을 먼저 그려 두면 보기 판단이 훨씬 쉬워집니다.
단계별 힌트
g(x)=a2−x는 y=a−x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것입니다. x축 방향으로 옮기면 그래프가 옆으로만 움직이므로, 가로로 누운 점근선 y=0(x축)은 그대로 남습니다.
또 x=1을 넣어 보세요. f(1)=a, g(1)=a2−1=a이므로 두 그래프는 항상 점 (1, a)에서 만납니다. 이 교점이 모든 보기를 푸는 기준점입니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
ㄴ은 밑 a의 범위에 따라 부등식의 방향이 달라지는 성질을 씁니다. a>1이면 지수가 클수록 값이 크고, 0<a<1이면 지수가 클수록 값이 작습니다.
ax>a2−x를 지수끼리 비교해 보세요. a>1일 때와 0<a<1일 때 각각 x의 범위가 어떻게 나오는지 따로 구한 뒤, ‘모든 음수 x’가 그 범위에 들어가는 경우가 어느 쪽인지 확인하면 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (판단은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
ㄷ에서는 g(x)=f(2−x)라는 점에 주목하세요. x 자리에 2−x를 넣으면 그래프가 직선 x=1에 대하여 대칭이동됩니다. 즉, 두 곡선 y=f(x), y=g(x)는 직선 x=1에 대하여 서로 대칭입니다.
이제 두 직선 x=k+1과 x=1−k가 직선 x=1에서 각각 얼마나 떨어져 있는지 비교해 보세요. 두 직선도 x=1에 대하여 대칭이라면, 선분 AB와 선분 CD의 길이는 어떤 관계일까요?
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aㄱ · 평행이동해도 점근선은 x축 그대로
y=ax의 점근선은 x축입니다. g(x)=a2−x는 y=a−x를 x축 방향으로 2만큼 평행이동한 것이고, y=a−x의 점근선도 x축이므로 g(x)의 점근선 역시 x축입니다. 두 점근선이 일치하므로 ㄱ은 참입니다.
STEP Bㄴ · 밑의 범위에 따라 대소 관계 나누기
두 그래프는 x=1에서 만납니다. a>1이면 x<1인 곳에서 f(x)<g(x)이므로 음수 x에서 f(x)>g(x)가 성립하지 않습니다. 0<a<1이면 x<1인 곳에서 f(x)>g(x)이므로 모든 음수 x에서 성립합니다. 따라서 조건을 만족하는 경우는 0<a<1뿐이고 ㄴ은 참입니다.
STEP Cㄷ · 대칭성으로 두 선분의 길이 비교하기
g(x)=f(2−x)이므로 두 곡선은 직선 x=1에 대하여 대칭입니다. 직선 x=k+1과 x=1−k도 x=1에서 k만큼씩 떨어져 대칭이므로, 한쪽에서 잘린 선분 AB를 x=1에 대하여 뒤집으면 선분 CD와 겹칩니다. 따라서 AB=CD이고 ㄷ도 참입니다. 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이므로 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 그래프 없이 식으로 확인하기
ㄴ은 두 함수의 비를 보면 한 줄로 끝납니다. f(x)g(x)=ax−(2−x)=a2x−2이고, x<0이면 지수 2x−2는 항상 −2보다 작은 음수입니다. 음수 지수에서 값이 1보다 크려면 밑이 1보다 작아야 하므로, 모든 음수 x에서 f(x)>g(x)이려면 0<a<1이어야 합니다.
ㄷ도 좌표로 바로 확인할 수 있습니다. x=k+1에서 AB=|ak+1−a1−k|, x=1−k에서 CD=|a1−k−a1+k|로, 두 식은 순서만 바뀐 같은 값입니다. 그래프로 판단이 흔들릴 때 이렇게 식으로 검산하는 습관을 들이면 합답형에서 실수가 크게 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- g(x)=a2−x를 보고 점근선도 2만큼 움직인다고 생각하기 쉽습니다. x축 방향 평행이동은 가로선인 점근선 y=0을 바꾸지 않습니다. 점근선이 바뀌는 것은 y축 방향으로 옮길 때입니다.
- ㄴ처럼 밑이 문자 a로 주어지면 반드시 a>1과 0<a<1 두 경우로 나누어 그래프를 각각 그려 보세요. 한 경우만 그리고 판단하면 부등식 방향을 거꾸로 읽게 됩니다.
- ㄷ에서 대칭축을 y축(x=0)이나 x=2로 착각하는 실수가 많습니다. 두 그래프의 교점 x좌표인 x=1이 대칭축이라는 점을 교점을 직접 구해서 확인하세요.
- ‘모든 음의 실수 x에 대하여’는 음수 전체가 조건을 만족해야 한다는 뜻입니다. 음수 하나만 대입해 확인하고 넘어가지 말고, 성립하는 x의 범위 전체와 비교하세요.
엄선된 풀이 영상
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