기초 필수
지수방정식
alogcb=blogca
출제의도
이 문항은 지수에 로그가 올라가 있는 낯선 식을 보고, 로그의 성질 alogcb=blogca를 떠올려 밑과 지수의 자리를 바꿀 수 있는지를 확인합니다. 우변의 xlog98은 밑에 미지수가 있어 다루기 어렵지만, 자리를 바꾸면 8log9x, 즉 밑이 2인 거듭제곱이 됩니다.
양변을 모두 밑이 2인 거듭제곱으로 맞추고 나면 지수끼리 비교하는 간단한 지수방정식이 됩니다. ‘밑을 통일하고 지수를 비교한다’는 지수방정식의 기본 전략과 로그의 성질이 한 문항 안에서 자연스럽게 연결되어 있습니다.
단계별 힌트
지수방정식은 양변을 같은 밑의 거듭제곱으로 만든 뒤 지수끼리 같다고 놓아 푸는 것이 기본입니다. 좌변의 8×2log9x에서 8을 2의 거듭제곱으로 바꾸면 좌변 전체를 2의 거듭제곱 하나로 정리할 수 있습니다.
문제는 우변 xlog98입니다. 밑에 x가 있어서 2의 거듭제곱으로 바로 바꿀 수 없습니다. 밑에 있는 x를 지수 쪽으로 옮길 방법이 없을지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
로그에는 “밑과 로그의 진수를 서로 바꿔도 값이 같다”는 성질 alogcb=blogca가 있습니다. 이 성질을 쓰면 xlog98=8log9x로 바꿀 수 있어, x가 밑에서 지수 속으로 들어갑니다.
이제 8=23이므로 8log9x=(23)log9x=23log9x입니다. 좌변도 8×2log9x=23×2log9x=23+log9x로 정리됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
23+log9x=23log9x에서 지수끼리 같다고 놓으면 3+log9x=3log9x입니다. log9x를 한 문자처럼 보고 일차방정식을 푼 다음, 로그의 정의로 x를 구하세요. 9는 32이라는 점을 쓰면 계산이 깔끔해집니다.
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정답 27
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A좌변을 2의 거듭제곱으로 정리하기
8=23이므로 8×2log9x=23×2log9x=23+log9x입니다. 밑이 같은 거듭제곱의 곱은 지수끼리 더합니다.
STEP B우변의 밑과 진수 자리 바꾸기
성질 alogcb=blogca에 의해 xlog98=8log9x=(23)log9x=23log9x입니다. 이제 양변이 모두 밑이 2인 거듭제곱이 되었습니다.
STEP C지수를 비교해 x 구하기
23+log9x=23log9x에서 3+log9x=3log9x이므로 2log9x=3, 즉 log9x=32입니다. 따라서 x=93/2=(32)3/2=33=27이고, x>0이므로 진수 조건도 만족합니다.
1등급 다른 풀이 · log9x=t로 치환하기
성질 alogcb=blogca가 바로 떠오르지 않을 때는 log9x=t로 놓으면 됩니다. 그러면 x=9t이므로 우변은 xlog98=(9t)log98=(9log98)t=8t이고, 좌변은 8×2t입니다.
방정식 8×2t=8t은 23+t=23t이므로 3+t=3t, t=32이고 x=93/2=27입니다. 이 치환 과정 자체가 alogcb=blogca가 성립하는 이유를 보여 주므로, 공식을 외우는 것과 함께 한 번은 직접 유도해 두면 오래 기억에 남습니다.
실수를 줄이는 전략
- 8×2log9x를 16log9x처럼 계산하는 실수가 자주 나옵니다. 8은 지수가 붙지 않은 수이므로 먼저 23으로 바꾼 뒤 지수끼리 더해야 합니다.
- 밑과 진수의 자리를 바꿀 때는 로그의 밑 9는 그대로 두고, 거듭제곱의 밑 x와 로그의 진수 8만 서로 바꿉니다. 9까지 함께 옮기지 않도록 주의하세요.
- log9x=32에서 x=32×9처럼 곱해 버리는 실수를 조심하세요. 로그의 정의에 따라 x=93/2이며, 9=32로 바꾸면 27로 정확하게 계산됩니다.
- 답을 구한 뒤에는 x>0이라는 진수 조건과 밑 조건을 만족하는지 확인하는 습관을 들이세요. 이 문항에서는 x=27이 조건을 모두 만족합니다.
엄선된 풀이 영상
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“수능특강 수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 Level 1 8번”에 대한 1개의 생각