기초 필수
로그함수의 그래프 위의 점
중점의 좌표
출제의도
이 문항은 로그함수의 그래프와 세로선 x=c가 만나는 점의 좌표를 구할 수 있는지를 확인합니다. 교점의 x좌표는 이미 정해져 있으므로, 로그함수에 x=c를 대입해 y좌표를 계산하는 것이 전부입니다.
계산의 핵심은 밑이 1보다 작은 로그인 log1/39의 값을 정확히 구하는 데 있습니다. 밑과 진수를 모두 3의 거듭제곱으로 바꾸는 습관이 있으면 부호 실수 없이 해결할 수 있으며, 마지막에는 중학교에서 배운 중점의 좌표 공식으로 마무리합니다.
단계별 힌트
곡선과 직선 x=2가 만나는 점은 x좌표가 2인 곡선 위의 점입니다. 따라서 점 A의 y좌표는 y=log2x에 x=2를 넣은 값이고, 점 B의 y좌표는 y=log1/3x에 x=9를 넣은 값입니다.
먼저 log22가 얼마인지부터 계산해 보세요. “2를 몇 제곱하면 2가 되는가?”를 묻는 것과 같습니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
log1/39는 “13을 몇 제곱하면 9가 되는가?”라는 질문입니다. 밑과 진수를 모두 3의 거듭제곱으로 바꾸면 13=3−1, 9=32입니다.
그러면 logambn=nmlogab라는 성질을 쓸 수 있습니다. 밑이 1보다 작고 진수가 1보다 크면 값이 음수가 된다는 점도 함께 기억하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
두 점 A, B의 좌표를 구했다면 중점의 좌표는 x좌표끼리 더해 2로 나누고, y좌표끼리 더해 2로 나누면 됩니다. 구한 a와 b를 더하는 것까지 해야 문항이 끝납니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A점 A의 좌표 구하기
점 A의 y좌표는 log22=1이므로 A(2, 1)입니다.
STEP B점 B의 좌표 구하기
점 B의 y좌표는 log1/39=log3−132=−2이므로 B(9, −2)입니다.
STEP C중점의 좌표와 a+b 구하기
선분 AB의 중점의 좌표는 (2+92, 1+(−2)2), 즉 (112, −12)입니다. 따라서 a=112, b=−12이고 a+b=5이므로 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 좌표 네 개를 한꺼번에 더하기
문항이 묻는 것은 a와 b 각각이 아니라 a+b입니다. a=2+92, b=1+(−2)2이므로 두 식을 더하면 a+b=2+9+1+(−2)2=102=5입니다. 중점의 좌표를 따로 분수로 계산하지 않고, 두 점의 좌표 네 개를 모두 더해 2로 나누면 한 번에 끝납니다.
또한 log1/39는 “밑을 역수로 바꾸면 로그값의 부호가 바뀐다”는 성질 log1/ax=−logax를 알고 있으면 −log39=−2로 바로 구할 수 있습니다. 밑이 12, 13인 로그는 앞으로 자주 나오므로 이 성질을 손에 익혀 두면 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- log1/39를 2로 쓰는 부호 실수가 가장 흔합니다. 밑이 1보다 작은 로그는 진수가 1보다 크면 값이 음수라는 점을 확인하세요.
- 직선 x=2와 만나는 점은 x좌표가 2인 점입니다. y좌표를 2로 두는 실수를 하지 않도록 “x=2는 세로선”이라는 그림을 먼저 떠올리세요.
- 중점의 좌표는 더한 뒤 반드시 2로 나누어야 합니다. 합만 구하고 멈추면 전혀 다른 값이 나옵니다.
- 중간값 a=112나 b=−12에서 멈추지 말고, 문항이 묻는 a+b까지 계산했는지 마지막에 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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