기초 필수
지수함수의 점근선
그래프의 평행이동
출제의도
이 문항은 지수함수의 그래프를 식만 보고 떠올릴 수 있는지, 특히 “그래프가 끝없이 가까워지지만 절대 닿지 않는 선”, 즉 점근선을 찾을 수 있는지를 확인합니다. f(x)=2x−3+2의 점근선 y=2를 찾으면 직선 y=m이 그래프와 만나지 않는 조건이 바로 정리됩니다.
여기에 그래프의 평행이동 식을 세우는 과정이 더해져 있습니다. 점근선으로 k를 구하고, 평행이동한 식에 x=k를 대입하는 두 단계를 차례대로 해내는지가 핵심입니다. 지수함수·로그함수 문항에서 점근선과 평행이동은 거의 매번 함께 등장하므로 이 흐름을 확실히 익혀 두어야 합니다.
단계별 힌트
2x−3은 x에 어떤 값을 넣어도 항상 양수입니다. 그렇다면 f(x)=2x−3+2는 항상 어떤 수보다 크다고 말할 수 있을까요?
그래프로 생각하면, 이 함수의 그래프는 x가 작아질수록 직선 y=2에 한없이 가까워지지만 그 선에 닿지는 않습니다. 이 직선 y=2가 바로 점근선입니다. 그래프가 점근선의 위쪽에만 그려진다는 점을 먼저 떠올리세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
그래프가 y>2인 부분에만 있으므로, 가로선 y=m이 그래프와 만나지 않으려면 m≤2이어야 합니다. 여기서 m=2도 포함된다는 점이 중요합니다. 점근선 y=2 자체는 그래프와 만나지 않기 때문입니다. 따라서 정수 m의 최댓값 k=2입니다.
평행이동은 “x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 옮기면 x 대신 x−a, y 대신 y−b를 넣는다”는 규칙을 씁니다. 이 문항에서는 a=k=2, b=−2k=−4입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
y−(−4)=2(x−2)−3+2를 정리해 g(x)를 구해 보세요. 그다음 g(k), 즉 g(2)에 x=2를 대입하면 2의 음수 거듭제곱이 나옵니다. 2−3은 123이라는 점만 기억하면 계산을 마무리할 수 있습니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ −158
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A점근선을 찾아 k 구하기
2x−3>0이므로 f(x)>2이고, 함수 y=f(x)의 그래프의 점근선은 직선 y=2입니다. 직선 y=m이 그래프와 만나지 않으려면 m≤2이어야 하므로 정수 m의 최댓값은 2, 즉 k=2입니다.
STEP B평행이동한 식 g(x) 세우기
x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 −4만큼 평행이동하면 y−(−4)=2(x−2)−3+2이고, 정리하면 y=2x−5−2입니다. 따라서 g(x)=2x−5−2입니다.
STEP Cg(k)의 값 계산하기
g(k)=g(2)=2−3−2=18−2=−158이므로 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 점 하나만 옮겨서 바로 계산하기
이 문항은 g(x)의 식 전체가 아니라 g(2)라는 값 하나만 묻고 있습니다. 평행이동의 규칙을 식으로 쓰면 g(x)=f(x−2)−4이므로, x=2를 넣으면 g(2)=f(0)−4입니다. 즉, 원래 그래프 위의 점 (0, f(0))을 x축 방향으로 2, y축 방향으로 −4만큼 옮긴 점이 (2, g(2))라는 뜻입니다.
f(0)=2−3+2=18+2이므로 g(2)=18+2−4=−158입니다. 새 식을 정리하는 과정을 건너뛰기 때문에 계산 실수가 줄어듭니다. “평행이동한 함수의 특정 값”을 묻는 문항에서는 이렇게 원래 함수의 어느 점이 옮겨 왔는지를 거꾸로 따라가는 방법이 가장 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- 점근선 y=2는 그래프와 만나지 않는 선이므로 m=2도 조건을 만족합니다. m<2로 착각해 k=1로 두면 이후 계산이 모두 어긋나니, 등호가 포함되는지 꼭 확인하세요.
- y축 방향으로 −4만큼 옮길 때는 y 대신 y−(−4), 즉 y+4를 넣습니다. 부호를 한 번 더 확인한 뒤 식을 정리하세요.
- x 대신 x−2를 넣을 때는 2(x−2)−3처럼 괄호를 먼저 쓰고 정리해야 지수 계산에서 실수가 없습니다.
- 2−3을 −8이나 −18로 쓰는 실수가 자주 나옵니다. 음수 지수는 부호가 아니라 역수를 뜻하므로 2−3=18입니다.
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