수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 2 6번

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출제의도

이 문항은 밑이 서로 다른 두 로그를 하나로 합친 뒤, “로그의 값이 자연수”라는 조건을 진수에 대한 조건으로 바꿔 읽을 수 있는지를 확인합니다. 로그 계산 자체는 짧지만, 조건을 만족하는 순서쌍 (a, b)를 빠짐없이, 중복 없이 세는 과정이 핵심입니다.

밑을 2로 통일하면 조건은 a√b=2^m이 됩니다. 이때 √b가 무리수이면 결코 2의 거듭제곱이 될 수 없다는 점을 알아차리면 b의 후보가 크게 줄어듭니다. ‘조건 번역 → 후보 좁히기 → 경우 나누기’로 이어지는 Level 2의 전형적인 흐름을 연습하기 좋은 문항입니다.

단계별 힌트

상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

1등급 다른 풀이 · 양변을 2배 해서 근호 없애기

근호가 부담스럽다면 처음부터 식 전체에 2를 곱해 봅니다. 2(log₂a+log₄b)=log₂a²+log₂b=log₂(a²b)=2m이므로 a²b=2^2m, 즉 a²b는 4의 거듭제곱입니다. a²b가 2의 거듭제곱이면 그 약수인 a와 b도 모두 2의 거듭제곱이어야 하므로, a와 b는 1, 2, 4, 8 중에서만 고르면 됩니다.

a=2^p, b=2^q로 두면 2p+q가 2 이상의 짝수여야 하므로 q는 짝수, 즉 b=1 또는 b=4입니다. b=9가 처음부터 후보에 들어오지 않는다는 점이 이 풀이의 장점입니다. 소인수 관점으로 조건을 보는 습관은 로그의 값이 정수가 되는 조건을 묻는 문항 전반에 그대로 통합니다.

실수를 줄이는 전략

• b=4일 때 a=1을 빠뜨리기 쉽습니다. log₂1=0이어도 log₄4=1이 더해져 값이 자연수 1이 됩니다. 한쪽 로그가 0이 되는 경우도 반드시 확인하세요.
• “서로 다른 두 자연수” 조건을 놓치면 (4, 4)까지 세어 7개가 나옵니다. 선택지에 없는 답이 나오면 조건을 다시 읽으라는 신호입니다.
• m은 자연수이므로 로그의 값이 0인 경우는 포함되지 않습니다. 0을 자연수로 착각하지 마세요.
• 순서쌍 (a, b)는 순서가 중요합니다. (2, 4)는 조건을 만족하지만 (4, 2)는 b=2가 제곱수가 아니어서 만족하지 않으므로, 자리를 바꿔 세지 말고 b를 기준으로 경우를 나누는 것이 안전합니다.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

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