수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 2 5번

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출제의도

이 문항은 지수 자리에 로그가 올라가 있거나 로그 안에 거듭제곱이 들어 있는 복잡한 식을 보고, “각 항을 x와 y만 남는 간단한 식으로 바꿀 수 있는가?”를 확인합니다. 세 항을 하나씩 정리하면 등식이 x와 y 사이의 이차 관계로 바뀌고, 결국 익숙한 이차함수의 최댓값 문제가 됩니다.

Level 2답게 성질 하나로 끝나지 않고, 로그의 여러 성질을 순서대로 적용한 뒤 이차함수라는 다른 단원의 도구로 마무리하는 흐름이 핵심입니다. 지수·로그 계산은 그 자체가 목표라기보다 다른 문제로 넘어가기 위한 ‘정리 도구’라는 감각을 익히기 좋은 문항입니다.

단계별 힌트

상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

1등급 다른 풀이 · 밑을 2로 통일해 성질 하나로 정리하기

밑과 진수의 자리를 바꾸는 성질이 헷갈린다면, 모든 수를 2의 거듭제곱으로 바꾸고 a^log_aM=M 하나만 써도 충분합니다. 4^log₂x=(2²)^log₂x=(2^log₂x)²=x²이고, 둘째 항은 x·log₈12=x·(−13)로 계산하면 됩니다.

최댓값을 구할 때도 완전제곱식 대신 꼭짓점의 x좌표 공식 x=−b2a를 쓰면 빠릅니다. y=−3x²+x에서 x=−12×(−3)=16이고, 이 값을 대입하면 y=−112+16=112입니다. 성질을 적게 쓸수록 실수할 곳도 줄어듭니다.

실수를 줄이는 전략

• 둘째 항에서 지수 x를 앞으로 내릴 때 밑 8=2³의 지수 3도 함께 처리해야 합니다. 결과는 −x3이며, −3x나 −x로 쓰는 실수가 자주 나옵니다.
• log₂y−log₂3은 진수의 나눗셈 log₂y3입니다. log₂ylog₂3로 착각하지 마세요.
• 등식을 y에 대해 정리할 때 양변에 3을 곱하면서 부호가 바뀌는 항이 있으니 y=−3x²+x를 한 번 더 확인하세요.
• x, y가 양수라는 조건이 있으므로 꼭짓점이 그 범위 안에 있는지 반드시 확인하는 습관을 들이세요. 이 문항에서는 문제없지만, 범위 밖이면 최댓값이 달라집니다.
• 구하는 값은 α+β입니다. 선택지 ④ 16은 α만 구하고 멈춘 경우에 해당하니 마지막 덧셈까지 끝내세요.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

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