수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 2 3번

03
기본 필수

01 지수와 로그
근과 계수의 관계
유리수 지수로 통일하기

출제의도

이 문항은 공통수학에서 배운 이차방정식의 근과 계수의 관계를 지수 계산과 연결할 수 있는지 확인합니다. 근이 ³√2처럼 거듭제곱근으로 주어져도, 이를 2^1/3로 바꿔 쓰면 합과 곱의 식이 모두 ‘밑이 2인 거듭제곱’의 계산으로 정리됩니다.

또 하나의 핵심은 2^1/3과 2^4/3처럼 지수가 다른 두 수를 더하는 장면입니다. 지수법칙은 곱셈과 나눗셈에만 적용된다는 점을 알고, 2^4/3=2×2^1/3로 쪼개 같은 꼴로 묶어 내는 것이 이 문항의 진짜 연습 포인트입니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

이차방정식의 한 근이 주어지고 다른 한 근을 b라 두었으니, 두 근과 계수 사이의 관계를 먼저 적어 보세요. x²−ax+c=0 꼴에서 두 근의 합은 a, 두 근의 곱은 c입니다. x의 계수 앞에 붙은 부호(−)를 놓치지 않는 것이 첫 번째 관문입니다.

그다음 ³√2를 2^1/3로 바꿔 두면 이후의 모든 계산이 밑이 2인 거듭제곱끼리의 계산이 됩니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

합의 식에는 모르는 수가 a와 b 두 개이지만, 곱의 식에는 b 하나뿐입니다. 그러니 곱의 식에서 b를 먼저 구하세요. 밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈은 지수끼리 빼면 되므로 2^p÷2^q=2^p−q를 쓰면 됩니다.

b를 구한 뒤 합의 식에 넣으면 a도 바로 나옵니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

b가 2^4/3로 나왔다면, 이것을 2¹×2^1/3=2×2^1/3로 쪼개 보세요. 그러면 a와 b가 모두 ‘(자연수)×2^1/3‘ 꼴이 되어, 2^1/3을 하나의 문자처럼 보고 앞의 수끼리 더하기만 하면 됩니다.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ⑤ 5×2^1/3

상세 해설

수능특강 수학Ⅰ 지수와 로그 Level 2 3번 상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A근과 계수의 관계로 식 두 개 세우기

두 근이 ³√2와 b이므로 합은 ³√2+b=a, 곱은 ³√2×b=2^5/3입니다. 모르는 값 a, b가 두 개이고 식도 두 개이므로 답을 구할 수 있는 구조입니다.

STEP B곱의 식에서 b 먼저 구하기

³√2=2^1/3이므로 b=2^5/3÷2^1/3=2^5/3−1/3=2^4/3입니다. 이를 합의 식에 넣으면 a=2^1/3+2^4/3입니다.

STEP C2^1/3으로 묶어 a+b 계산하기

2^4/3=2×2^1/3이므로 a=2^1/3+2×2^1/3=3×2^1/3, b=2×2^1/3입니다. 따라서 a+b=3×2^1/3+2×2^1/3=5×2^1/3이고 정답은 ⑤입니다.

1등급 다른 풀이 · t=³√2로 치환해 다항식처럼 계산하기

³√2=t로 두면 t³=2이고, 상수항 2^5/3은 (2^1/3)⁵=t⁵입니다. 곱의 식 t×b=t⁵에서 b=t⁴=t³×t=2t가 되어, 분수 지수를 한 번도 쓰지 않고 b를 얻습니다.

또 a=t+b이므로 a+b=t+2b=t+4t=5t=5×2^1/3입니다. a를 따로 구하지 않고 구하는 식 a+b를 합의 식으로 바로 바꾸는 것이 시간을 줄이는 핵심입니다. 같은 거듭제곱근이 반복되는 식은 이렇게 문자로 치환하면 지수 계산이 익숙한 다항식 계산으로 바뀝니다.

실수를 줄이는 전략

x²−ax+c=0에서 두 근의 합은 −a가 아니라 a입니다. 합은 ‘x의 계수의 부호를 바꾼 값’이라는 점을 식을 세우기 전에 한 번 확인하세요.
2^1/3+2^4/3을 2^5/3으로 쓰는 실수가 가장 흔합니다. 지수를 더하는 것은 곱셈일 때뿐이고, 덧셈은 반드시 공통 인수 2^1/3으로 묶어서 계산해야 합니다.
선택지 ②의 2^4/3은 b, ③의 3×2^1/3은 a의 값입니다. 중간에 구한 값에서 멈추지 말고 문제가 묻는 a+b까지 계산했는지 확인하세요.
거듭제곱근과 유리수 지수가 섞여 있으면 처음부터 한쪽으로 통일하세요. 이 문항은 모두 2^(유리수) 꼴로 바꾸는 것이 가장 안전합니다.

엄선된 풀이 영상

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