기초 필수
상용로그의 계산
log 5 = 1 − log 2
출제의도
이 문항은 주어진 값이 log 2 하나뿐일 때, 식 속의 5를 2와 10으로 바꿔 쓸 수 있는지를 확인합니다. 25는 52이고 5는 10÷2이므로, log 5를 1−log 2로 바꾸는 순간 모든 값이 log 2 하나로 계산됩니다.
또 부등식 m < (값) < m+1을 만족시키는 정수 m은 그 값의 정수 부분이라는 뜻입니다. 계산 결과가 음수로 나오기 때문에, 음수의 정수 부분을 올바르게 찾는 것이 이 문항의 마지막 관문입니다.
단계별 힌트
괄호 안의 125를 그대로 두지 말고 거듭제곱 꼴로 바꿔 보세요. 25=52이므로 125=5−2이고, 여기에 40제곱이 더 붙어 있으니 지수법칙으로 지수를 하나로 합칠 수 있습니다.
지수를 하나로 합친 뒤에는 로그의 성질 log ak=k log a를 써서 지수를 로그 앞으로 내려 보내면 됩니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
식이 (정수)×log 5 꼴이 되었다면, 이제 log 5의 값을 알아야 합니다. 그런데 문제에서 주어진 것은 log 2뿐입니다. 이럴 때는 5를 102로 바꿔 쓰는 것이 핵심입니다.
그러면 log 5=log 102=log 10−log 2=1−log 2가 됩니다. 상용로그에서 log 10=1이라는 점을 이용하는 것으로, 상용로그 계산에서 가장 자주 쓰이는 변형입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
log 2=0.3010을 대입해 식의 값을 소수로 구해 보세요. 결과는 음수로 나옵니다. 그 값을 사이에 두는 연속한 두 정수를 찾을 때, 수직선에서 더 왼쪽에 있는 정수가 m입니다. 예를 들어 −3.4라면 m은 −3이 아니라 −4입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ −56
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A밑을 5로 맞추고 지수를 로그 앞으로 내리기
125=5−2이므로 (125)40=(5−2)40=5−80입니다. 따라서 주어진 로그는 log 5−80=−80 log 5로 정리됩니다.
STEP Blog 5를 log 2로 바꿔 값 계산하기
log 5=log 102=1−log 2=1−0.3010=0.6990이므로, −80 log 5=−80×0.6990=−55.92입니다.
STEP C값을 사이에 두는 두 정수 찾기
−56 < −55.92 < −55이므로 m=−56이고, m+1=−55입니다. 따라서 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 10의 거듭제곱을 끌어내 한 번에 계산하기
125의 분자와 분모에 4를 곱하면 4100=22×10−2입니다. 이렇게 쓰면 log 5를 거치지 않고 곧바로 log 2와 log 10만으로 계산할 수 있습니다.
log (125)40=40(2 log 2−2)=40×(0.6020−2)=40×(−1.3980)=−55.92가 되어 같은 결과를 얻습니다. 상용로그 문항에서는 주어진 수를 ‘(주어진 로그의 진수)의 거듭제곱×10n‘ 꼴로 바꾸는 습관을 들이면 계산이 짧아지고, 이후 자릿수나 소수점 아래 첫 자리 문항에서도 그대로 활용할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 음수의 정수 부분을 찾을 때 소수점 아래를 그냥 버리면 안 됩니다. −55.92에서 소수 부분을 떼어 −55로 쓰면 −55 < −55.92가 성립하지 않으므로 틀립니다. 선택지 ②의 −55가 바로 이 실수를 노린 함정입니다.
- 답을 고른 뒤에는 m < (값) < m+1에 직접 대입해 부등호가 모두 성립하는지 확인하세요. 수직선에 −56, −55.92, −55를 차례로 찍어 보면 헷갈리지 않습니다.
- 125을 5−2로 바꿀 때 음의 부호를 빠뜨리면 결과가 +55.92가 되어 선택지에 없는 답이 나옵니다. 1보다 작은 수의 상용로그는 항상 음수라는 점을 떠올려 부호를 점검하세요.
- 80×0.6990을 계산할 때는 80×0.7=56에서 80×0.001=0.08을 빼는 식으로 어림하면 빠르고 정확합니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.