점과 직선 사이의 거리
각의 이등분선
삼각형의 내심
출제의도
이 문항은 ‘내심’이라는 중학 도형 용어를 좌표평면의 거리 조건으로 번역할 수 있는지를 묻습니다. 내심은 세 내각의 이등분선이 만나는 점인데, 각의 이등분선은 곧 ‘두 직선까지의 거리가 같은 점들의 자취’입니다. 이 한 문장을 떠올리면 점과 직선 사이의 거리 공식만으로 문제가 끝납니다.
진짜 관문은 절댓값에 있습니다. 거리를 같다고 놓으면 절댓값 방정식이 되어 자취가 두 개 나오는데, 하나는 내각의 이등분선이고 다른 하나는 외각의 이등분선입니다. 이 둘은 서로 수직입니다. 식만 세우고 판정을 건너뛰면 엉뚱한 교점이 나오므로, 그림에서 기울기의 부호로 옳은 쪽을 고르는 작업이 이 문항의 채점 포인트입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
내심은 세 내각의 이등분선의 교점이고, 세 이등분선은 반드시 한 점에서 만납니다. 따라서 셋을 다 구할 필요 없이 두 개만 구해 연립하면 됩니다.
각의 이등분선을 좌표로 옮기는 방법이 핵심입니다. 어떤 점이 두 직선까지의 거리가 같다면 그 점은 두 직선이 이루는 각의 이등분선 위에 있습니다. 그러니 점 (x, y)에서 두 직선까지의 거리를 각각 거리 공식으로 쓰고 같다고 놓으세요. 세 직선 중 y=0이 가장 다루기 쉬우므로 y=0을 공통으로 끼워 두 쌍을 만드는 것이 편합니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
y=0과 3x−4y+6=0의 거리를 같다고 놓으면 |y| = |3x−4y+6|/5가 되고, 절댓값을 풀면 직선이 두 개 나옵니다. 하나는 내각의 이등분선, 다른 하나는 외각의 이등분선이므로 반드시 선별해야 합니다.
판정 기준은 그림입니다. 세 직선의 교점을 먼저 구해 삼각형을 그려 두면, 각 꼭짓점에서 삼각형 내부로 들어가는 이등분선의 기울기 부호가 눈으로 보입니다. y=0과 4x+3y−12=0 쌍에 대해서도 같은 작업을 한 뒤, 살아남은 두 직선을 연립하면 내심 (a, b)가 나옵니다.
정답 확인
정답 a+b = 2 (내심은 (1, 1))
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A내심의 성질로 전략 세우기
삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이고, 세 이등분선은 항상 한 점에서 만납니다. 따라서 세 내각 중 두 내각의 이등분선만 구해 교점의 좌표를 계산하면 됩니다.
STEP B거리가 같음을 이용해 이등분선 구하기
( i ) y=0과 3x−4y+6=0 — 점 (x, y)의 자취는 |y| = |3x−4y+6|/√(3²+(−4)²)이므로 x−3y+2=0 또는 3x+y+6=0입니다. 이 중 내심 (a, b)를 지나는 직선의 기울기는 양수이므로 x−3y+2=0
( ii ) y=0과 4x+3y−12=0 — 점 (x, y)의 자취는 |y| = |4x+3y−12|/√(4²+3²)이므로 x+2y−3=0 또는 2x−y−6=0입니다. 이 중 내심 (a, b)를 지나는 직선의 기울기는 음수이므로 x+2y−3=0
버려진 3x+y+6=0과 2x−y−6=0은 각각 같은 꼭짓점에서의 외각의 이등분선이며, 짝이 되는 내각의 이등분선과 서로 수직입니다.
STEP C두 이등분선을 연립해 내심 구하기
x−3y+2=0과 x+2y−3=0을 연립하면 두 식을 빼서 −5y+5=0, 즉 y=1이고 x=1입니다. 내심의 좌표는 (1, 1)이므로 a=1, b=1이고 a+b=2입니다.
1등급 다른 풀이 · 3:4:5 직각삼각형으로 읽기
세 직선이 만드는 삼각형의 정체를 먼저 확인하면 계산이 거의 사라집니다. 3x−4y+6=0과 4x+3y−12=0은 기울기가 각각 3/4와 −4/3이라 서로 수직입니다. 세 교점을 구하면 (−2, 0), (3, 0), (6/5, 12/5)이고, 세 변의 길이는 각각 3, 4, 5인 직각삼각형입니다.
직각삼각형의 내접원 반지름은 r = (두 직각변의 합 − 빗변)/2 = (3+4−5)/2 = 1입니다. 빗변이 x축(y=0) 위에 놓여 있고 삼각형이 그 위쪽에 있으므로, 내심은 x축에서 위로 1만큼 떨어진 점, 즉 b=1이 즉시 확정됩니다.
남은 a는 거리 조건 한 줄이면 됩니다. 내심 (a, 1)에서 직선 4x+3y−12=0까지의 거리도 1이어야 하므로 |4a+3−12|/5=1, 즉 |4a−9|=5에서 a=1 또는 a=7/2입니다. a=7/2는 삼각형 바깥이므로 a=1이고, 내심 (1, 1)에서 a+b=2입니다.
참고로 세 꼭짓점과 대변의 길이를 아는 경우에는 내심의 가중평균 공식도 쓸 수 있습니다. 각 꼭짓점의 좌표에 마주 보는 변의 길이를 곱해 더한 뒤 둘레로 나누면 됩니다. 이 문항에서는 {3·(−2)+4·3+5·(6/5)}/12 = 1이 되어 같은 답을 얻습니다.
실수를 줄이는 전략
- 절댓값을 벗기면 자취는 항상 두 개입니다. 내각과 외각의 이등분선이며 서로 수직입니다. 식을 두 개 다 써 놓고 시작한 뒤 그림으로 판정하는 순서를 지키세요.
- 판정은 기울기의 부호가 가장 빠릅니다. 꼭짓점에서 삼각형 내부를 향하는 방향인지만 보면 되므로, 세 교점을 먼저 구해 대략적인 그림을 그려 두는 것이 결국 시간을 아낍니다.
- 내심(세 변까지의 거리가 같은 점)과 외심(세 꼭짓점까지의 거리가 같은 점)을 혼동하지 마세요. 거리 공식을 변에 쓰는지 점에 쓰는지가 갈림길입니다.
- 거리 공식의 분모는 √(3²+(−4)²)=5, √(4²+3²)=5입니다. 계수의 부호를 그대로 제곱하다 −4를 −16으로 처리하는 실수가 잦습니다.
- 세 개의 이등분선을 모두 구할 필요는 없습니다. 두 개만 연립하면 되고, 시간이 남으면 세 번째로 검산하세요. 이 문항에서는 (1, 1)에서 세 직선까지의 거리가 모두 1인지 확인하면 완벽한 검산이 됩니다.