최다빈출 · 왕중요
삼각형의 넓이 이등분
두 직선의 교점
범위 조건 판별
출제의도
‘넓이를 이등분한다’는 조건을 어떻게 식으로 바꿀 것인가를 묻는 문항입니다. 이등분이라는 말을 그대로 두면 아무것도 계산할 수 없습니다. 잘려 나가는 한쪽 조각의 넓이를 전체의 절반과 같다고 놓는 순간 비로소 k에 대한 방정식이 생깁니다. 이때 두 조각 중 계산이 쉬운 쪽, 즉 밑변이 x축 위에 놓이는 오른쪽 삼각형을 고르는 것이 첫 번째 판단입니다.
최다빈출로 표시된 이유는 이 구조가 내신에서 그대로 반복되기 때문입니다. 직선의 x절편으로 한 꼭짓점을 잡고, 다른 변과의 교점을 연립으로 잡고, 넓이 공식에 넣어 이차방정식을 푸는 흐름은 문제만 바뀔 뿐 매번 같습니다. 마지막에 두 근 중 하나를 범위 조건으로 버리는 마무리까지가 이 유형의 완성형입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 삼각형 OAB의 넓이를 구해 목표 숫자를 확정하세요. 밑변 OA는 x축 위에 있고 길이가 4, 높이는 B의 y좌표인 4이므로 넓이는 8입니다. 이등분이므로 잘린 한 조각의 넓이는 4가 되어야 합니다.
직선 y=x+k가 삼각형을 자를 때 생기는 두 조각 중 오른쪽 삼각형을 보세요. 이 삼각형의 세 꼭짓점은 직선의 x절편 P, 꼭짓점 A, 그리고 직선과 변 AB의 교점 Q입니다. 밑변 PA가 x축 위에 놓이므로 넓이 계산이 가장 간단해집니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
y=x+k에서 y=0이면 x=−k이므로 P(−k, 0)입니다. 밑변 PA의 길이는 4−(−k)=4+k입니다. 높이는 점 Q의 y좌표이므로, 직선 AB의 방정식을 구해 y=x+k와 연립하면 됩니다. A(4, 0)과 B(3, 4)를 지나는 직선의 기울기가 −4라는 점에 주의하세요.
넓이를 k로 정리하면 (k+4)²의 꼴로 예쁘게 묶입니다. 이를 4와 같다고 놓으면 k=−4±√10이 나오는데, 여기서 끝내면 안 됩니다. 직선이 실제로 두 점 A, B 사이를 지나야 하므로 k에는 범위 제한이 있습니다. P가 선분 OA 위에 있으려면 0<−k<4여야 한다는 점을 확인해 하나를 버리세요.
정답 확인
정답 k = −4+√10
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A목표 넓이와 두 꼭짓점 P, Q 잡기
삼각형 OAB의 넓이는 (1/2)×4×4=8이므로 잘린 삼각형 PAQ의 넓이는 4가 되어야 합니다. 직선 y=x+k가 x축과 만나는 점은 P(−k, 0)입니다.
두 점 A(4, 0), B(3, 4)를 지나는 직선은 y−0 = {(4−0)/(3−4)}(x−4), 즉 4x+y−16=0입니다. 이를 x−y+k=0과 연립하면 x=(16−k)/5, y=(16+4k)/5이므로 교점은 Q((16−k)/5, (16+4k)/5)입니다.
STEP B삼각형 PAQ의 넓이를 k로 나타내기
밑변 PA의 길이는 4−(−k)=4+k, 높이는 점 Q의 y좌표인 (16+4k)/5입니다. 따라서
넓이 = (1/2)×(4+k)×(16+4k)/5 = (1/2)×(4+k)×4(4+k)/5 = (2/5)(k+4)²
16+4k가 4(k+4)로 묶인다는 점이 이 문항의 계산상 핵심입니다. 덕분에 이차식이 완전제곱 꼴로 정리되어 근을 바로 읽을 수 있습니다.
STEP C범위 조건으로 k 결정하기
(2/5)(k+4)²=4에서 (k+4)²=10이므로 k=−4±√10입니다. 그런데 직선 y=x+k가 두 점 A, B 사이를 지나야 하므로 −4<k<1이어야 합니다(k=1이면 직선이 점 B를 지나고, k=−4이면 점 A를 지납니다).
√10≈3.16이므로 −4+√10≈−0.84는 범위 안에 있고, −4−√10≈−7.16은 범위 밖입니다. 따라서 k=−4+√10입니다.
1등급 다른 풀이 · 닮음비로 두 줄에 끝내기
잘린 삼각형 PAQ를 자세히 보면, k가 변해도 모양이 전혀 변하지 않습니다. 꼭짓점 P에서의 각은 기울기 1인 직선과 x축이 이루는 각이라 항상 45°이고, 꼭짓점 A에서의 각은 직선 AB와 x축이 이루는 각이라 k와 무관하게 고정되어 있기 때문입니다. 즉 k가 달라져도 삼각형 PAQ는 모두 서로 닮음이고, 넓이는 PA²에 비례합니다.
기준 하나만 잡으면 됩니다. k=0일 때 직선은 y=x이고 P는 원점이므로 PA=4, 이때 Q는 (16/5, 16/5)이라 넓이는 (1/2)×4×(16/5)=32/5입니다. 넓이가 PA²에 비례하므로 넓이가 4가 되려면 PA² : 4² = 4 : 32/5, 즉 PA²=10이고 PA=√10입니다.
따라서 P는 A에서 왼쪽으로 √10만큼 떨어진 점 (4−√10, 0)이고, P의 x좌표가 −k이므로 k=−(4−√10)=−4+√10입니다. 교점 Q를 구하지 않고도 답이 나오며, 4−√10≈0.84가 0과 4 사이라는 점에서 범위 조건까지 자동으로 확인됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 이등분 문제는 어느 조각을 절반으로 놓을지 먼저 정하세요. 밑변이 좌표축 위에 놓이는 쪽을 고르면 높이가 교점의 좌표 하나로 끝나 계산량이 절반이 됩니다.
- x절편 P의 좌표는 (k, 0)이 아니라 (−k, 0)입니다. 부호를 그대로 옮겨 적는 실수가 이 유형에서 가장 잦습니다.
- 직선 AB의 기울기는 A(4, 0)이 B(3, 4)보다 오른쪽에 있으므로 음수(−4)입니다. 두 점의 순서를 바꿔 대입해도 결과가 같은지 한 번 검산하세요.
- 이차방정식의 두 근을 모두 답으로 쓰면 안 됩니다. k=−4−√10일 때 P(4+√10, 0)은 점 A의 바깥이라 삼각형을 자르지 못합니다. 근사값을 찍어 그림 위에 올려보는 확인이 가장 빠릅니다.
- 답이 −4+√10인지 √10−4인지는 같은 값입니다. 다만 답안에는 문제에서 요구한 형태에 맞춰 쓰고, 부호를 뒤집어 4−√10으로 쓰지 않도록 마지막에 한 번 더 확인하세요.