일등급문제
STEP 3 · 일등급문제
평행한 두 직선 사이의 거리
정삼각형의 넓이
최솟값
출제의도
이 문항은 점 A와 점 B가 각각 다른 직선 위를 자유롭게 움직이고, 점 C는 두 점이 정해지면 따라 결정됩니다. 즉 겉보기에는 움직이는 대상이 셋이지만 실제 변수는 선분 AB의 길이 하나뿐입니다. 이 축소를 알아채는 것이 첫 관문입니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 계산량이 아니라 최솟값을 어디서 통제하는가에 있습니다. 정삼각형의 넓이는 한 변의 길이 a에 대해 (√3/4)a²이고, 이 식은 a > 0에서 증가합니다. 따라서 ‘넓이가 최소’ ⟺ ‘한 변이 최소’라는 동치가 성립하고, 문제는 넓이 문제에서 거리 문제로 완전히 바뀝니다. 넓이식을 붙들고 미지수를 잡아 늘어놓는 학생과, 두 직선의 기울기부터 비교하는 학생 사이에서 풀이 길이가 열 배 차이 납니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
가장 먼저 두 직선 2x − y + 3 = 0과 2x − y − 2 = 0의 기울기를 비교해 보세요. 둘 다 2입니다. 두 직선은 평행하고, A는 위쪽 직선 위, B는 아래쪽 직선 위에서만 움직입니다.
그렇다면 AB는 얼마든지 길어질 수 있지만 짧아지는 데에는 한계가 있습니다. 그 한계값이 무엇인지 생각해 보세요. 그리고 정삼각형의 넓이가 한 변의 길이에 대해 어떤 방향으로 변하는지도 함께 확인하면, 이 문제가 무엇을 구하는 문제인지가 분명해집니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
AB의 최솟값은 평행한 두 직선 사이의 거리와 같습니다. 이를 구하려면 한 직선 위에서 계산이 편한 점을 하나 골라 다른 직선까지의 거리를 재면 됩니다. 예를 들어 2x − y + 3 = 0 위의 점으로 (0, 3)을 잡으면 대입이 깔끔합니다.
거리를 구했다면 그 값을 정삼각형의 넓이 공식 S = (√3/4)a²에 넣으세요. 이때 a가 무리수여도 a²은 유리수가 되므로 계산이 오히려 간단해집니다. 마지막으로 문제가 묻는 것이 S가 아니라 4S라는 점을 놓치지 마세요.
정답 확인
정답 4S = 5√3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A변 AB의 길이의 최솟값 구하기
삼각형 ABC가 정삼각형이므로 넓이가 최소가 되는 것은 한 변 AB의 길이가 최소일 때입니다. 두 직선 2x − y + 3 = 0과 2x − y − 2 = 0은 기울기가 모두 2로 같으므로 평행합니다.
따라서 AB의 최솟값은 이 두 평행선 사이의 거리와 같습니다. 직선 2x − y + 3 = 0 위의 점 (0, 3)과 직선 2x − y − 2 = 0 사이의 거리를 구하면
|2 × 0 − 3 − 2| ÷ √(2² + (−1)²) = 5 ÷ √5 = √5
STEP B삼각형 ABC의 넓이의 최솟값과 4S 계산
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 (√3/4)a²입니다. 한 변의 길이가 √5일 때 넓이가 최소이므로
S = (√3/4) × (√5)² = 5√3/4
따라서 4S = 4 × (5√3/4) = 5√3입니다.
1등급 다른 풀이 · 평행선 거리 공식으로 한 줄에
두 직선이 ax + by + c₁ = 0, ax + by + c₂ = 0처럼 x, y의 계수가 완전히 같은 꼴로 정리되어 있다면, 점을 하나 잡을 필요 없이 거리 공식을 바로 쓸 수 있습니다.
여기서는 2x − y + 3 = 0과 2x − y − 2 = 0이 이미 그 꼴이므로, 두 직선 사이의 거리는 |3 − (−2)| ÷ √(2² + (−1)²) = 5 ÷ √5 = √5로 곧바로 나옵니다. 대입 계산이 사라지므로 부호 실수가 원천적으로 차단됩니다.
남는 질문은 ‘그 최솟값이 실제로 달성되는가’입니다. AB가 두 직선에 수직일 때 길이 √5가 되고, 그 AB를 한 변으로 하는 정삼각형의 세 번째 꼭짓점 C는 AB를 기준으로 양쪽에 하나씩 존재합니다. AB가 두 직선과 90°를 이루므로 C는 60° 방향으로 벌어져 두 직선 어디에도 놓이지 않습니다. 조건 ‘두 직선 위에 있지 않은 점 C’가 자동으로 만족되어 최솟값이 실제로 달성됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 가장 먼저 두 직선이 평행한지를 확인하세요. 만약 두 직선이 만난다면 AB의 길이를 0에 가깝게 만들 수 있어 넓이의 최솟값 자체가 존재하지 않습니다. 평행이라는 사실이 이 문제 전체를 성립시키는 전제입니다.
- 거리 공식의 분모는 √(2² + (−1)²) = √5입니다. y의 계수 −1을 빼먹고 √4로 계산하는 실수가 잦습니다.
- 점을 잡아 거리를 잴 때는 계산이 쉬운 점을 고르세요. (0, 3)처럼 한 좌표가 0인 점이 가장 안전합니다.
- (√5)² = 5입니다. 루트를 제곱하는 순간 유리수가 되므로, 여기서 √5를 그대로 남겨두면 넓이가 (5√3·√5)/4 같은 엉뚱한 꼴이 됩니다.
- 문제가 묻는 것은 S가 아니라 4S입니다. 정삼각형 넓이 공식의 분모 4와 문제의 계수 4가 정확히 상쇄되도록 설계된 문항이라, S = 5√3/4에서 멈추면 그대로 오답 처리됩니다.