TOUGH
두 직선의 수직 조건
삼각형의 수심
빈칸 추론
출제의도
이 문항은 ‘삼각형의 세 수선은 한 점(수심)에서 만난다’는 사실을 좌표평면에서 직접 증명해 보이는 과정을 빈칸으로 따라가게 합니다. 답을 구하는 문제가 아니라 논증의 흐름을 읽는 문제라는 점이 특징이며, 서술형·증명형 문항에 대비하는 성격이 강합니다.
도구는 두 가지뿐입니다. 첫째, 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1이라는 조건. 둘째, 두 직선의 교점을 찾는 계산. 그런데 이 문항의 배치가 영리한 것은 밑변 BC가 x축 위에 있다는 점입니다. 그래서 점 A에서 BC에 내린 수선은 곧 y축(x=0)이 되고, 나머지 두 수선의 교점이 y축 위에 있음만 보이면 증명이 끝납니다. 두 수선의 y절편이 같다는 한 줄이 이 증명의 심장입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
세 꼭짓점의 위치를 먼저 관찰하세요. B(−2, 0)과 C(6, 0)은 모두 x축 위에 있으므로 직선 BC는 x축입니다. 그렇다면 점 A(0, 9)에서 대변 BC에 내린 수선은 x축에 수직이면서 A를 지나는 직선, 즉 y축(x=0)입니다. 세 수선 중 하나는 계산조차 필요 없는 셈입니다.
남은 일은 나머지 두 수선 BD와 CE의 방정식을 구하고, 그 교점이 y축 위에 놓임을 확인하는 것입니다. 수선을 세우는 도구는 하나뿐입니다. 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 −1이라는 조건이죠.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
직선 BD는 점 B를 지나면서 대변 AC에 수직입니다. 그러니 먼저 직선 AC의 기울기를 구하고, 그 역수에 부호를 바꿔 BD의 기울기를 얻으세요. 같은 방식으로 직선 AB의 기울기에서 CE의 기울기를 얻습니다.
두 수선의 방정식을 각각 y=mx+k 꼴로 정리했다면, 굳이 연립하지 말고 두 식의 y절편을 비교해 보세요. 값이 같다면 두 직선은 y축 위의 같은 점에서 만난다는 뜻이고, y축은 이미 A에서 BC에 내린 수선이므로 세 수선이 한 점에서 만난다는 결론이 그대로 완성됩니다. 마지막으로 빈칸에 들어간 세 수 p, q, r을 정확히 짚어 (p+r)×q를 계산하면 됩니다.
정답 확인
정답 ⑤ (p+r)×q = 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 수선 BD, CE의 방정식 구하기
A(0, 9), C(6, 0)을 지나는 직선 AC의 기울기는 (0−9)/(6−0) = −32입니다. AC ⊥ BD이므로 BD의 기울기는 23이고, B(−2, 0)을 지나므로
y−0 = 23{x−(−2)} → y = 23x + 43 ……㉠
또 A(0, 9), B(−2, 0)을 지나는 직선 AB의 기울기는 (0−9)/(−2−0) = 92입니다. AB ⊥ CE이므로 CE의 기울기는 −29이고, C(6, 0)을 지나므로
y−0 = −29(x−6) → y = −29x + 43 ……㉡
STEP B수심의 좌표 확인하기
㉠과 ㉡의 y절편이 모두 43으로 같으므로 두 직선의 교점은 y축 위에 있습니다. 그런데 y축은 선분 BC(x축)의 수선이면서 점 A를 지나므로, 곧 A에서 대변에 내린 수선입니다.
따라서 세 꼭짓점에서 대변에 내린 세 수선은 모두 점 (0, 43)을 지나며, 이 점이 삼각형 ABC의 수심입니다.
STEP C(p+r)×q의 값 구하기
빈칸에 들어가는 값은 p=−32, q=43, r=92이므로
(p+r)×q = (−32 + 92) × 43 = 3 × 43 = 4
1등급 다른 풀이 · 수심을 미지수 하나로 잡기
수심이 y축 위에 있다는 사실은 처음부터 알 수 있습니다. BC가 x축이니 A에서 내린 수선이 x=0이고, 수심은 그 수선 위에 있어야 하기 때문입니다. 그러니 수심을 H(0, h)로 두고 미지수 하나만 다루면 됩니다.
H는 B에서 AC에 내린 수선 위에도 있어야 하므로 직선 BH와 직선 AC가 수직입니다. BH의 기울기는 (h−0)/(0−(−2)) = h2이고 AC의 기울기는 −32이므로
h2 × (−32) = −1 → h = 43
수선 방정식을 두 개나 세울 필요 없이 곱셈 한 번으로 수심이 나옵니다. 참고로 이 배치처럼 밑변이 x축 위에 있고 한 꼭짓점이 y축 위에 있는 삼각형에서는, A(0, a), B(b, 0), C(c, 0)일 때 수심이 항상 (0, −bc/a)가 됩니다. 이 문항에 대입하면 −(−2)(6)/9 = 43으로 즉시 확인됩니다. 검산용으로 기억해 두면 좋은 결과입니다.
실수를 줄이는 전략
- 수직 조건에서 기울기는 역수를 취하고 부호를 바꾸는 두 단계입니다. −32의 짝은 23이지 −23이 아닙니다. 부호를 바꾸는 것을 잊으면 이후 계산이 전부 어긋납니다.
- x축·y축에 평행한 변이 있으면 기울기 공식이 통하지 않습니다. 이 문항에서 BC는 x축이라 그 수선은 기울기가 없는 직선 x=0입니다. y=mx+k 꼴로 억지로 쓰려 하지 말고 x=0으로 처리하세요.
- 수선을 세 개 모두 구할 필요는 없습니다. 두 개의 교점을 찾고 나머지 하나가 그 점을 지남을 확인하는 것이 증명의 표준 구조입니다. 계산량을 절반으로 줄여 줍니다.
- 빈칸 문제는 무엇이 p, q, r인지부터 다시 확인하세요. 이 문항에서 p와 r은 기울기(−32, 92), q는 y절편(43)입니다. 순서를 뒤섞으면 값은 다 맞았는데 답이 틀리는 가장 아까운 실수가 됩니다.
- 마지막 계산에서 (p+r)을 먼저 묶으면 −32+92=3으로 깔끔하게 정리됩니다. 분수를 각각 곱한 뒤 더하면 통분이 늘어 실수 확률이 올라갑니다.
엄선된 풀이 영상
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