TOUGH
2024년 09월 고1 학력평가 26번
두 직선의 평행
평행한 두 직선 사이의 거리
사각형의 넓이
출제의도
이 문항은 미지수를 몇 개 잡느냐가 풀이 시간을 좌우하는 문제입니다. 직선 l2는 기울기가 l1과 같으므로 자유도가 1뿐입니다. y=12x+m처럼 y절편으로 잡아도 되지만, x−2y+a=0 꼴로 잡으면 네 점의 좌표가 모두 a 하나로 깔끔하게 정리됩니다.
후반부는 넓이가 주어진 도형에서 미지수를 역으로 찾는 전형적인 구조입니다. 사각형 ADCB를 어떻게 쪼개느냐에 따라 계산량이 크게 달라지며, 대각선 AC가 x축 위에 놓여 있다는 점을 알아채는 것이 관건입니다. 마지막에 묻는 것이 d가 아니라 d²라는 점도, 평행선 거리 공식의 결과가 무리수임을 미리 알려주는 장치입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 l1: x−2y−2=0을 y=12x−1로 바꿔 A, B를 확정하세요. x절편과 y절편만 구하면 됩니다.
l2는 l1과 평행하므로 x−2y+a=0 꼴로 두면 단 하나의 문자로 표현됩니다. 이때 y절편이 양수라는 조건이 a>0을 의미한다는 것까지 정리해 두세요. 그러면 C와 D의 좌표도 자동으로 a로 나옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
사각형 ADCB에서 네 점은 A, C가 x축 위, B, D가 y축 위에 있습니다. 즉 대각선 AC는 x축, 대각선 BD는 y축에 놓입니다. 대각선을 기준으로 위·아래 두 삼각형(ADC와 ACB)으로 쪼개면 밑변이 AC로 공통이고 높이만 다릅니다.
넓이를 a에 대한 식으로 만들면 이차방정식이 되고, a>0 조건으로 근 하나가 걸러집니다. a가 정해지면 l2의 방정식이 확정되므로, 마지막 d는 l1 위의 아무 점(A가 가장 편합니다)과 l2 사이의 거리로 구하면 됩니다.
정답 확인
정답 d² = 20
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A네 점 A, B, C, D의 좌표 구하기
l1: x−2y−2=0, 즉 y=12x−1이므로 A(2, 0), B(0, −1)입니다.
l2는 l1과 평행하므로 l2: x−2y+a=0 (a>0), 즉 y=12x+a2이므로 C(−a, 0), D(0, a2)입니다.
STEP B넓이 25를 이용해 a 구하기
사각형 ADCB를 대각선 AC로 나누면 밑변 AC = a+2가 공통이고, 삼각형 ADC의 높이는 a2, 삼각형 ACB의 높이는 1입니다.
넓이 식 — 12(a+2)·a2 + 12(a+2)·1 = 12(a+2)(a2+1) = 14a²+a+1
방정식 풀기 — 14a²+a+1=25에서 a²+4a−96=0, (a+12)(a−8)=0이므로 a=−12 또는 a=8
a>0이므로 a=8, 즉 l2: x−2y+8=0입니다.
STEP C두 직선 사이의 거리 d 구하기
l1 위의 점 A(2, 0)과 직선 x−2y+8=0 사이의 거리를 구하면
d = |2−2×0+8| ÷ √(1²+(−2)²) = 10 ÷ √5 = 2√5
따라서 d² = 20입니다.
1등급 다른 풀이 · 직교하는 대각선으로 한 번에
사각형 ADCB의 두 대각선은 AC(x축 위)와 BD(y축 위)이고, 두 축은 서로 수직입니다. 대각선이 직교하는 사각형의 넓이는 (두 대각선 길이의 곱)의 절반이므로 삼각형으로 쪼갤 필요 없이 곧바로 씁니다.
넓이 = 12×AC×BD = 12(a+2)(a2+1) = 14(a+2)²
여기서 전개하지 않는 것이 요령입니다. 14(a+2)²=25에서 (a+2)²=100이고, a>0이면 a+2>0이므로 a+2=10, 즉 a=8이 한 줄에 나옵니다. 인수분해나 근의 공식이 아예 필요 없고, 버려야 할 음수근도 자동으로 사라집니다.
거리 d도 평행선 거리 공식으로 바로 처리할 수 있습니다. x−2y−2=0과 x−2y+8=0에 대해 |−2−8|÷√5 = 10÷√5 = 2√5입니다.
실수를 줄이는 전략
- 평행 조건을 x−2y+a=0 한 문자로 잡으세요. 기울기와 y절편을 따로 미지수로 두면 문자가 둘이 되어 식이 불필요하게 길어집니다.
- ‘y절편이 양수’라는 문구를 그냥 지나치지 마세요. 이 한 줄이 a>0을 만들고, 마지막에 a=−12를 버리는 근거가 됩니다. 조건을 놓치면 답이 둘로 남습니다.
- C(−a, 0)의 부호를 조심하세요. x−2y+a=0에 y=0을 넣으면 x=−a이므로, a>0일 때 C는 x축 음의 방향에 있습니다. 이를 a로 잘못 쓰면 AC의 길이가 |a−2|가 되어 전부 어긋납니다.
- 사각형의 이름은 ADCB입니다. ABCD로 잘못 읽으면 변의 연결 순서가 달라져 도형이 꼬입니다. 그림에서 A→D→C→B 순서로 실제 경로를 따라가며 확인하세요.
- 마지막에 묻는 것은 d가 아니라 d²입니다. 2√5까지 구해놓고 그대로 답으로 쓰면 20이 아니라 오답 처리됩니다. 답안지에 옮기기 전 문제의 마지막 문장을 다시 읽는 습관이 필요합니다.
엄선된 풀이 영상
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