TOUGH
최다빈출 왕중요
두 직선의 교점을 지나는 직선
점과 직선 사이의 거리
계수 비교
출제의도
두 직선의 교점을 지나는 직선을 세우고, 주어진 점까지의 거리 조건으로 그 직선을 확정하는 표준 유형입니다. 계산 자체는 어렵지 않지만, 이 문항이 TOUGH로 분류된 이유는 마지막에 붙은 (단, ab≠0)이라는 단서 한 줄에 있습니다.
교점 (2, 4)를 지나면서 점 (1, 2)까지의 거리가 1인 직선은 사실 두 개 존재합니다. 하나는 3x−4y+10=0이고, 다른 하나는 y축에 평행한 직선 x=2입니다. 그런데 x=2를 ax+by+10=0 꼴로 맞추면 b=0이 되어 ab=0이므로, 문제는 단서를 붙여 이 쪽을 제외한 것입니다. 기울기 m으로 놓는 흔한 풀이는 이 직선을 애초에 보지도 못한 채 답에 도달하기 때문에, 맞혀도 논리적으로는 반쪽짜리 풀이가 됩니다. 단서가 왜 붙었는지까지 설명할 수 있어야 이 문항을 제대로 소화한 것입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
구하는 직선이 지나는 점을 먼저 확보하세요. 두 직선 x−2y+6=0과 x−y+2=0을 연립하면 교점의 좌표가 하나로 정해집니다. 두 식을 변끼리 빼면 y가 바로 나옵니다.
교점이 나오면 남은 조건은 ‘그 점을 지나고 점 (1, 2)와의 거리가 1’뿐입니다. 즉 지나는 점 하나 + 거리 조건 하나로 직선을 결정하는 구조이므로, 미지수를 기울기 하나로 잡거나 교점을 지나는 직선의 묶음으로 잡는 두 가지 접근이 가능합니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
교점은 (2, 4)입니다. 기울기를 m으로 두면 직선은 y−4=m(x−2), 즉 mx−y−2m+4=0이 됩니다. 여기에 점 (1, 2)와의 거리 공식을 세우고 분모를 넘긴 뒤 양변을 제곱하세요. m²항이 소거되면서 일차방정식으로 내려갑니다.
m을 구했으면 대입해서 정리하되, 최종 형태가 ax+by+10=0이 되도록 상수항을 10에 맞춰 양변에 적절한 수를 곱하는 것이 마지막 관문입니다. 상수항을 맞추지 않으면 a, b가 배수만큼 달라져 ab가 틀립니다.
여유가 있다면 y축에 평행한 직선 x=2도 거리 조건을 만족하는지 확인해 보세요. 왜 (단, ab≠0)이 붙었는지가 보입니다.
정답 확인
정답 ab = −12
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 직선의 교점을 지나는 직선 세우기
x−2y+6=0과 x−y+2=0을 연립하면 x=2, y=4이므로 교점은 (2, 4)입니다. 이 점을 지나고 기울기가 m인 직선은 y−4=m(x−2), 즉 mx−y−2m+4=0입니다.
STEP B거리 조건으로 m 구하기
점 (1, 2)와 직선 mx−y−2m+4=0 사이의 거리가 1이므로
|m×1 − 2 − 2m + 4|√(m²+(−1)²) = 1, 즉 |−m+2| = √(m²+1)
양변을 제곱하면 m²−4m+4 = m²+1이고, m²이 소거되어 4m=3, 즉 m = 3/4입니다.
STEP Cax+by+10=0 꼴로 맞춰 ab 구하기
m=3/4을 대입하면 (3/4)x − y − 3/2 + 4 = 0이고, 양변에 4를 곱하면 3x − 4y + 10 = 0입니다. 상수항이 이미 10이므로 계수를 그대로 읽어 a=3, b=−4입니다.
따라서 ab = 3 × (−4) = −12입니다.
1등급 다른 풀이 · 교점을 지나는 직선의 묶음으로 한 번에
두 직선 f(x, y)=0, g(x, y)=0의 교점을 지나는 직선은 f + kg = 0 꼴로 한꺼번에 표현할 수 있습니다. 이 문항에서는 x−2y+6 + k(x−y+2) = 0, 정리하면 (1+k)x − (2+k)y + 6+2k = 0입니다.
점 (1, 2)와의 거리가 1이므로 |k+3| = √(2k²+6k+5)이고, 제곱하면 k²+6k+9 = 2k²+6k+5에서 k²=4, 즉 k = 2 또는 k = −2가 나옵니다.
k = 2 — 3x − 4y + 10 = 0 → a=3, b=−4이므로 ab=−12 (적합)
k = −2 — −x + 2 = 0, 즉 x=2 → b=0이 되어 ab=0이므로 단서 ab≠0에 의해 제외
기울기 m으로 놓는 풀이는 x=2를 아예 표현하지 못하지만, 이 방법은 두 직선을 모두 찾아낸 뒤 단서로 걸러내는 구조입니다. 문제에 (단, ab≠0)이 왜 붙었는지가 풀이 안에서 자연스럽게 설명되므로, 서술형에서는 이쪽이 훨씬 완결성 있는 답안이 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 기울기 m으로 놓는 순간 y축에 평행한 직선은 후보에서 사라집니다. 지나는 점이 정해진 상태에서 거리 조건을 다루는 문제에서는 항상 ‘x=(교점의 x좌표)’가 조건을 만족하는지 별도로 확인하는 습관을 들이세요. 이 문항에서는 실제로 만족합니다.
- 최종 형태 ax+by+10=0의 상수항 10을 반드시 맞추세요. 6x−8y+20=0으로 답하면 ab=−48이 되어 오답입니다. 계수 비교형 문제는 형태를 맞추는 것까지가 풀이입니다.
- 거리 공식의 분모는 √(m²+(−1)²)이지 √(m²+1²)의 부호를 헷갈릴 필요는 없지만, 상수항 −2m+4를 빠뜨리고 |m−2|만 쓰는 실수가 잦습니다. 대입은 식 전체에 하세요.
- 제곱 후 m²이 소거되는지 확인하세요. 소거되면 일차방정식이므로 근이 하나, 소거되지 않으면 어딘가 전개가 틀린 것입니다.
- b의 부호에 주의하세요. 3x−4y+10=0에서 b는 4가 아니라 −4이며, 이 부호 하나로 답이 12와 −12로 갈립니다.