TOUGH
진부분집합의 개수
미지수 역산
출제의도
이 문항은 앞의 두 문항에서 익힌 원소별 등장 횟수 계산에 제외 조건과 미지수 역산을 얹은 마무리 문항입니다. 공집합을 제외한 진부분집합만 대상으로 삼는다는 단서를 정확히 처리한 뒤, 완성된 식을 방정식으로 되돌려 a를 찾아야 합니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 제외의 효과가 개수와 합에서 서로 다르기 때문입니다. 공집합을 빼면 집합의 개수 n은 1 줄지만 합은 조금도 변하지 않고, 자기 자신 A를 빼면 개수도 1 줄고 합도 A의 원소 합만큼 줄어듭니다. 이 비대칭을 놓치면 계산은 매끄럽게 진행되지만 답은 틀립니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 대상이 되는 집합이 몇 개인지 확정하세요. 진부분집합은 자기 자신을 제외한 부분집합이고, 여기서 공집합까지 뺀다고 했으므로 전체 부분집합에서 두 개가 빠집니다.
합을 구할 때는 처음부터 진부분집합만 세려 하지 말고, 모든 부분집합에 대한 합을 먼저 구한 뒤 빠져야 할 것을 빼는 순서가 훨씬 안전합니다. 빼야 할 두 집합의 원소 합이 각각 얼마인지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
원소가 4개인 집합의 모든 부분집합에서 특정 원소 하나가 등장하는 횟수는 24−1입니다. 이를 이용해 모든 부분집합의 원소 합의 총합을 (등장 횟수) × (1+2+3+a) 꼴로 씁니다.
여기서 공집합은 합이 0이므로 빼도 값이 그대로이고, 집합 A 자신의 합만 한 번 덜어내면 됩니다. 정리하면 (1+2+3+a)로 묶이는 깔끔한 식이 나오고, 이것을 91과 같다고 놓아 a를 구합니다. 마지막에 묻는 것은 a가 아니라 n + a입니다.
정답 확인
정답 21 (n = 14, a = 7)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A집합의 개수 n 구하기
원소가 4개이므로 부분집합은 모두 2⁴ = 16개입니다. 여기서 자기 자신 A와 공집합을 제외하므로 n = 2⁴ − 2 = 14입니다.
STEP B합의 식을 세워 a 구하기
모든 부분집합에서 각 원소는 2³ = 8번씩 등장하므로 총합은 8(1+2+3+a)입니다. 공집합은 합이 0이라 영향이 없고 A 자신의 합 (1+2+3+a)만 덜어내면 되므로, s₁+s₂+⋯+sₙ = 7(1+2+3+a) = 42 + 7a입니다. 42 + 7a = 91에서 a = 7이며 조건 a > 4를 만족합니다.
STEP Cn + a의 값 구하기
따라서 n + a = 14 + 7 = 21입니다.
1등급 다른 풀이 · 91을 먼저 인수분해하기
식을 42 + 7a로 전개하지 말고 7(6 + a) = 91 형태로 묶인 채 두면, 우변을 91 = 7 × 13으로 인수분해하는 순간 6 + a = 13이 보이고 a = 7이 한 줄에 나옵니다. 이항과 나눗셈 과정을 아예 건너뛰는 방식입니다.
이 관점은 계수 7의 정체를 이해할 때 더 강력해집니다. 7은 8 − 1, 즉 “모든 부분집합에서의 등장 횟수 8″에서 “제외된 A 한 번”을 뺀 값입니다. 원소가 m개인 집합에서 같은 조건이라면 계수는 언제나 2m−1 − 1이 되므로, 원소 개수가 5개, 6개로 늘어난 변형 문항도 곧바로 15, 31로 대응할 수 있습니다. 한편 단서 a > 4는 a가 1, 2, 3과 겹쳐 원소의 개수가 4보다 작아지는 상황을 막기 위한 장치입니다.
실수를 줄이는 전략
- 공집합은 개수에서만 빠지고 합에서는 빠지지 않습니다. 합에서까지 무언가를 덜어내려다 식이 틀어지는 경우가 가장 많습니다.
- 진부분집합에서 제외되는 것은 집합 A 자기 자신입니다. 그 합 (1+2+3+a)를 정확히 한 번만 빼세요. 두 번 빼면 계수가 6이 됩니다.
- 등장 횟수는 24−1 = 8입니다. 원소의 개수 4나 부분집합의 개수 16을 곱하는 실수를 조심하세요.
- a에 문자가 섞여 있어도 등장 횟수는 다른 원소와 똑같이 8입니다. a를 특별 취급할 이유가 없습니다.
- 답으로 요구된 값은 a가 아니라 n + a입니다. a = 7까지 맞게 구하고 7을 적어 내는 것이 이 문항의 마지막 함정입니다.
엄선된 풀이 영상
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