마플시너지 0767 - 답지나라

0767
TOUGH
최다빈출 왕중요

Ⅱ-05 집합의 뜻
부분집합의 개수
최소 원소 기준 분류

출제의도

이 문항은 부분집합의 개수 공식을 ‘분류의 도구’로 쓸 수 있는지를 묻습니다. 공집합이 아닌 부분집합은 모두 31개인데, 이것을 하나씩 나열해서 최소 원소를 더하는 것은 현실적으로 불가능합니다. 대신 최소 원소가 무엇인가를 기준으로 31개를 다섯 덩어리로 나누면, 각 덩어리의 크기가 2의 거듭제곱으로 깔끔하게 떨어집니다.

TOUGH 스텝에 배치된 이유는 원소가 1, 1/2, 1/2², 1/2³, 1/2⁴이라는 분수라서 ‘가장 작은 원소’가 나열 순서의 마지막이라는 점을 놓치기 쉽기 때문입니다. 여기서 크기 순서를 뒤집어 생각하면 모든 분류가 어긋납니다. 반대로 구조를 제대로 잡으면 (원소의 값)×(그 원소가 최소가 되는 부분집합의 개수)가 항상 1이 되어, 계산이 놀랄 만큼 짧게 끝납니다.

단계별 힌트

힌트는 한 번에 다 열지 말고, 한 단계씩만 확인한 뒤 직접 풀어보는 것을 추천합니다.

힌트 1단계 · 발상과 연결고리

부분집합 31개를 일일이 적을 수는 없습니다. 이런 유형은 언제나 ‘무엇을 기준으로 묶을 것인가’를 먼저 정합니다. 구하는 값이 각 부분집합의 최소 원소들의 합이므로, 묶는 기준도 당연히 최소 원소입니다.

먼저 다섯 원소의 크기 순서를 정확히 정리하세요. 1 > 1/2 > 1/2² > 1/2³ > 1/2⁴이므로, 집합에서 가장 큰 값은 1이고 가장 작은 값은 1/2⁴입니다. 분모가 커질수록 값은 작아진다는 사실을 손으로 한 줄 적어두고 시작하면 부호 대신 순서에서 실수하는 일을 막을 수 있습니다.

힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)

최소 원소를 1/2^k로 고정했다고 합시다. 그러면 세 가지가 동시에 결정됩니다. ① 1/2^k은 반드시 포함, ② 1/2^k보다 작은 원소(1/2^k+1 ~ 1/2⁴)는 모두 제외, ③ 1/2^k보다 큰 원소 k개는 넣든 말든 자유입니다.

따라서 부분집합의 개수는 2^k개입니다. 이제 각 경우의 (최소 원소의 값)×(개수)를 계산해서 더하기만 하면 됩니다. 곱해보면 매번 같은 수가 나오는데, 왜 그런지까지 생각해 보세요.

정답 확인

정답 ① a₁+a₂+a₃+⋯+aₙ = 5

상세 해설

마플시너지 공통수학2 0767번 상세 해설
마플시너지 공통수학2 0767번 내신연계 출제문항 해설

두 번째 이미지에는 분모가 4의 거듭제곱으로 바뀐 내신연계 출제문항 404번의 해설이 함께 실려 있습니다. 구조가 완전히 같으므로 본 문항을 이해했다면 바로 이어서 풀어보시기 바랍니다.

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A최소인 원소에 따라 부분집합의 개수 세기

S의 원소는 5개이므로 공집합이 아닌 부분집합은 2⁵−1 = 31개입니다. 최소 원소를 기준으로 나누면

최소가 1인 경우 : 나머지 넷은 모두 제외해야 하므로 {1} 하나뿐 → 1개
최소가 1/2인 경우 : 1/2², 1/2³, 1/2⁴ 제외, 1은 자유 → 2⁵⁻¹⁻³ = 2개
최소가 1/2²인 경우 : 1/2³, 1/2⁴ 제외, 1과 1/2은 자유 → 2⁵⁻¹⁻² = 4개
최소가 1/2³인 경우 : 1/2⁴ 제외, 앞의 셋은 자유 → 2⁵⁻¹⁻¹ = 8개
최소가 1/2⁴인 경우 : 제외할 원소가 없고 앞의 넷은 자유 → 2⁵⁻¹ = 16개

1+2+4+8+16 = 31로 전체 개수와 정확히 일치하므로 분류가 빠짐없이 되었음을 확인할 수 있습니다.

STEP B최소 원소들의 합 구하기

각 경우의 (값)×(개수)를 더하면

a₁+a₂+⋯+aₙ = 1×1 + (1/2)×2 + (1/2²)×4 + (1/2³)×8 + (1/2⁴)×16 = 1+1+1+1+1 = 5

다섯 항이 모두 1이 되는 것이 이 문항의 핵심 장치입니다.

1등급 다른 풀이 · 계산 없이 구조로 끝내기

최소 원소가 1/2^k일 때 그런 부분집합의 개수가 정확히 2^k개라는 사실을 STEP A에서 얻었습니다. 그렇다면 각 덩어리가 합에 기여하는 양은 (1/2^k)×2^k = 1로, k와 무관하게 항상 1입니다.

즉 덩어리가 몇 개인지만 세면 답이 나옵니다. 덩어리는 최소 원소가 될 수 있는 값의 가짓수, 곧 집합 S의 원소의 개수인 5개이므로 합은 그대로 5입니다. 분수를 한 번도 더하지 않고 끝납니다.

이 관점의 진짜 가치는 일반화에 있습니다. S = {1, 1/2, 1/2², ⋯, 1/2ⁿ⁻¹}처럼 원소가 n개인 같은 꼴의 집합이면 답은 언제나 n입니다. 반면 내신연계 404번처럼 분모가 4의 거듭제곱으로 바뀌면 (1/4^k)×2^k = (1/2)^k가 되어 기여도가 일정하지 않고, 등비수열의 합을 실제로 계산해야 합니다. 두 문항을 나란히 놓고 왜 하나는 계산이 사라지고 하나는 남는지를 설명할 수 있으면 이 유형은 완전히 잡은 것입니다.

실수를 줄이는 전략

‘가장 작은 원소’는 나열된 순서의 첫 번째가 아니라 값이 가장 작은 1/2⁴입니다. 문제를 읽자마자 크기 순서를 한 줄로 적어두세요.
최소 원소를 정하면 그보다 작은 원소는 전부 제외, 큰 원소는 자유입니다. 이 방향을 반대로 잡는 것이 가장 흔한 오답 경로입니다.
지수 5−1−3에서 −1은 ‘반드시 포함하는 원소’, −3은 ‘반드시 제외하는 원소’의 개수입니다. 두 역할을 구분해서 적으면 지수를 틀리지 않습니다.
개수의 합이 31이 되는지 반드시 확인하세요. 31이 나오지 않으면 어느 경우를 빠뜨렸거나 중복해서 센 것입니다.
공집합은 최소 원소가 존재하지 않으므로 애초에 제외 대상입니다. 문제에서 ‘공집합이 아닌’이라고 못 박은 이유를 이해하고 넘어가세요.

엄선된 풀이 영상

위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.

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