TOUGH
조건제시법 → 원소나열법
A⊂X⊂B 꼴의 부분집합
출제의도
이 문항은 세 가지 기술을 한 줄에 꿰어 놓았습니다. 조건제시법으로 주어진 집합 B를 원소나열법으로 바꾸는 일, A ⊂ X ⊂ B를 만족하는 X의 개수를 세는 일, 그리고 그 X들의 원소 합을 모두 더하는 일입니다. 앞 문항에서 익힌 “원소별 등장 횟수로 세기”가 여기서 한 단계 어려운 형태로 재등장합니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 원소마다 등장 횟수가 다르기 때문입니다. 1과 2는 모든 X에 강제로 들어가지만 4와 8은 들어갈 수도 안 들어갈 수도 있습니다. 이 차이를 무시하고 모든 원소에 같은 횟수를 곱하면 곧바로 오답 선택지에 걸립니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 B를 눈에 보이는 형태로 바꾸세요. x = 8n에서 x와 n이 모두 자연수라는 조건은 n이 8을 나누어떨어지게 한다는 뜻이고, 결국 x는 8의 양의 약수입니다.
다음으로 A ⊂ X ⊂ B라는 조건을 원소 단위의 명령으로 번역하세요. A의 원소는 반드시 넣어야 하고, B에는 있지만 A에는 없는 원소는 넣어도 되고 빼도 되는 자유 원소입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
자유 원소가 몇 개인지 세면 X의 개수 n이 바로 나옵니다. 원소 4개짜리 집합 B에서 2개가 강제되었으므로 개수는 24−2 꼴입니다. 개수가 작으니 X를 실제로 모두 써 보는 것도 충분히 좋은 전략입니다.
합을 구할 때는 원소를 두 무리로 나누세요. 강제 원소(1, 2)는 모든 X에 들어가므로 X의 개수만큼 더해지고, 자유 원소(4, 8)는 자신이 포함된 X의 개수만큼만 더해집니다. 자유 원소 하나가 포함되는 경우의 수는 나머지 자유 원소를 마음대로 정하는 경우의 수와 같습니다.
정답 확인
정답 ⑤ 36
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A집합 B를 원소나열법으로 바꾸기
x = 8n이 자연수가 되려면 x는 8의 양의 약수여야 하므로 B = {1, 2, 4, 8}입니다. 여기에 A = {1, 2}이므로 A ⊂ B가 확인됩니다.
STEP B조건을 만족하는 X를 모두 찾기
X는 1, 2를 반드시 원소로 가지고 4, 8은 자유입니다. 따라서 개수는 24−2 = 2² = 4이므로 n = 4이고, X₁={1,2}, X₂={1,2,4}, X₃={1,2,8}, X₄={1,2,4,8}입니다.
STEP C원소별 등장 횟수로 합산하기
1과 2는 4개의 X 전부에 등장하고, 4와 8은 각각 22−1 = 2번씩 등장합니다. 따라서 S₁+S₂+S₃+⋯+Sₙ = (1+2) × 4 + (4+8) × 2 = 12 + 24 = 36입니다.
1등급 다른 풀이 · 고정부와 변동부로 쪼개기
모든 X는 {1, 2}를 공통으로 품고 있습니다. 그러므로 전체 합은 고정부의 합과 변동부의 합으로 깔끔하게 분리됩니다. 고정부는 합이 3인 덩어리가 X의 개수 4번 반복되므로 3 × 4 = 12입니다.
변동부는 {4, 8}의 부분집합 네 가지(∅, {4}, {8}, {4, 8})가 한 번씩 붙는 것과 같으므로, 그 합은 0 + 4 + 8 + 12 = 24입니다. 따라서 12 + 24 = 36으로 곧바로 끝납니다. 이 “고정부 + 변동부” 분해는 A ⊂ X ⊂ B 유형 전체에 그대로 적용되며, B∖A의 원소가 많아질수록 조합을 일일이 세는 방식보다 훨씬 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- 조건은 x와 n이 둘 다 자연수입니다. n만 자연수로 읽으면 83 같은 값까지 넣게 되어 B가 무한집합이 되어 버립니다.
- 24−2의 지수 2는 자유 원소의 개수입니다. 전체 원소 4개에서 강제된 2개를 뺀 값이며, “빼기 2″를 습관적으로 붙이는 것이 아니라 매번 세어 확인하세요.
- 1, 2의 등장 횟수(4번)와 4, 8의 등장 횟수(2번)는 다릅니다. 전체 원소 합 15에 아무 숫자나 곱하는 순간 오답입니다.
- A ⊂ X 조건 때문에 X = ∅이나 X = {1}은 후보가 될 수 없습니다. 부분집합 개수 공식을 기계적으로 쓰다 보면 이 제약을 놓치기 쉽습니다.
- 선택지 ③ 28과 ④ 32는 4와 8 중 하나의 횟수를 잘못 세었을 때 나오는 값입니다. 답이 선택지에 있다고 안심하지 말고 X 네 개의 합(3, 7, 11, 15)을 직접 더해 36을 검산하세요.
엄선된 풀이 영상
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