최다빈출 왕중요
TOUGH
원소의 개수 조건
부분집합의 개수
출제의도
이 문항은 개수 조건을 포함 관계로 번역하는 능력을 묻습니다. n(A∪X)가 n(A)와 같다는 것은 X가 A 밖으로 한 발도 나가지 못한다는 뜻이고, 이는 곧 X⊂A입니다. 개수에 대한 등식 하나가 포함 관계 하나로 바뀌는 순간 문제의 난이도가 크게 떨어집니다.
TOUGH 스텝인 이유는 조건이 두 개이고 성격이 서로 다르기 때문입니다. 하나는 X가 놓일 울타리를 정해 주고, 다른 하나는 특정 원소의 소속을 강제합니다. 두 조건을 각각 ‘어느 원소가 들어가야 하는가 / 들어가면 안 되는가 / 자유인가’로 분류해 정리하는 것이 이 문항의 핵심 기술입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
합집합의 원소 개수가 A의 원소 개수와 같다는 것은, X가 A에 없는 새로운 원소를 하나도 추가하지 못했다는 뜻입니다. 즉 X−A=∅이고, 이는 X⊂A와 같은 말입니다.
두 번째 조건은 차집합의 개수입니다. n(B−X)=n(B)−n(B∩X)라는 관계를 이용하면, B의 두 원소 중 몇 개가 X에 들어가야 하는지가 정해집니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
n(B)=2이고 n(B−X)=1이므로 n(B∩X)=1입니다. 즉 B의 두 원소 중 정확히 하나만 X에 들어가야 합니다. 둘 다 넣거나 둘 다 빼면 조건이 깨집니다.
이제 A의 원소를 ‘조건이 걸린 원소’와 ‘자유로운 원소’로 나누세요. B에 속한 두 원소는 둘 중 하나를 고르는 선택이 되고, 나머지 원소들은 넣든 말든 상관없으므로 각각 두 가지 경우를 가집니다. 두 선택을 곱하면 개수가 나옵니다.
정답 확인
정답 집합 X의 개수 = 8
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 조건을 X의 소속 조건으로 번역하기
n(A∪X)=n(A)+n(X)−n(A∩X)이고 이 값이 n(A)와 같으므로 n(X)−n(A∩X)=0, 즉 n(X−A)=0에서 X⊂A를 얻습니다. 또 n(B−X)=n(B)−n(B∩X)이고 n(B)=2, n(B−X)=1이므로 n(B∩X)=1입니다.
STEP B원소를 나누어 개수 세기
X는 A의 부분집합이면서 B의 두 원소 중 정확히 하나만 포함해야 합니다. 어느 하나를 고르는 방법이 2가지, 나머지 두 원소는 포함 여부가 자유이므로 2²=4가지입니다. 따라서 X의 개수는 2×24−1−1=2×4=8입니다.
1등급 다른 풀이 · 여집합 세기로 확인하기
X⊂A까지만 확정하면 X의 후보는 A의 부분집합 2⁴=16개입니다. 여기서 조건을 어기는 경우만 덜어내는 방식으로도 답을 낼 수 있습니다. 조건을 어기는 경우는 B의 두 원소를 둘 다 포함하거나 둘 다 포함하지 않는 경우뿐입니다.
둘 다 포함하는 경우는 나머지 두 원소가 자유이므로 4가지, 둘 다 포함하지 않는 경우도 마찬가지로 4가지입니다. 따라서 16−(4+4)=8이 되어 같은 답을 얻습니다. 직접 세기와 여집합 세기가 일치하는지 확인하는 습관은 부분집합 개수 문제에서 검산 도구로 아주 유용합니다.
실수를 줄이는 전략
- n(A∪X)=4를 ‘X의 원소가 4개’로 오해하지 마세요. A의 원소 개수와 같다는 사실이 핵심이고, 결론은 X⊂A입니다.
- 차집합의 개수는 n(B−X)=n(B)−n(B∩X)입니다. n(B)−n(X)로 계산하면 완전히 다른 식이 됩니다.
- ‘정확히 하나’라는 조건을 ‘적어도 하나’로 읽으면 둘 다 포함하는 경우가 섞여 개수가 늘어납니다.
- 부분집합 개수 공식에서 지수에 들어가는 것은 자유로운 원소의 개수뿐입니다. 조건이 걸린 원소는 지수에서 반드시 빼세요.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.