최다빈출 왕중요
TOUGH
방정식의 해집합
대칭차집합
출제의도
이 문항은 조건제시법으로 주어진 집합을 ‘방정식의 해집합’으로 읽는 훈련입니다. A∩B={1}이라는 조건은 곧 1이 두 방정식의 공통근이라는 뜻이고, 각 방정식에 x=1을 대입하는 순간 미지수 a, b에 대한 식이 나옵니다. 집합 문제의 껍질을 벗기면 방정식 단원의 계산이 그대로 들어 있습니다.
TOUGH 스텝인 이유는 두 가지입니다. 첫째, a의 값이 두 개 나오는데 그중 하나는 교집합이 {1}보다 커져 탈락합니다. 둘째, 삼차방정식의 해집합을 정확히 구해야 하고 마지막에는 대칭차집합의 원소를 빠짐없이 더해야 합니다. 세 군데 중 한 곳만 흔들려도 답이 달라집니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
A∩B={1}은 1이 A에도 속하고 B에도 속한다는 뜻입니다. A와 B가 각각 방정식의 해집합이므로, 1을 두 방정식에 각각 대입하면 미지수를 구하는 식이 나옵니다.
단, 이 조건은 ‘1이 공통 원소다’와 ‘공통 원소가 1뿐이다’라는 두 가지를 동시에 말하고 있습니다. 대입으로 얻은 값은 앞쪽 조건만 만족시킨 것이므로, 뒤쪽 조건은 나중에 따로 확인해야 합니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
이차방정식에 x=1을 넣으면 a에 대한 이차식이 되어 a의 값이 두 개 나옵니다. 삼차방정식에 x=1을 넣으면 b는 하나로 정해집니다. 이제 a의 두 값에 대해 A를 각각 구하고, 확정된 b로 B를 구하세요.
삼차방정식은 x=1을 근으로 가지므로 x−1로 묶입니다. x²(x−1)−25(x−1) 형태로 정리하면 인수분해가 한 번에 끝납니다. 마지막으로 A∩B가 정확히 {1}인 경우만 남기고, (A−B)∪(B−A), 즉 공통 원소를 뺀 나머지 원소들을 모두 더하세요.
정답 확인
정답 ② 원소의 합 = −1
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ax=1을 대입해 a, b 구하기
1∈A에서 이차방정식에 x=1을 대입하면 a(a+2)=0이므로 a=−2 또는 a=0입니다. 1∈B에서 삼차방정식에 x=1을 대입하면 b=25로 하나만 정해집니다.
STEP B교집합 조건으로 a를 걸러내기
b=25이므로 삼차방정식은 x²(x−1)−25(x−1)=0, 즉 (x−1)(x+5)(x−5)=0이 되어 B={−5, 1, 5}입니다. a=−2이면 A={−5, 1}이 되어 A∩B={−5, 1}이므로 조건에 어긋납니다. a=0이면 A={−1, 1}이고 A∩B={1}이 되어 조건을 만족합니다.
STEP C대칭차집합의 원소 합 구하기
A={−1, 1}, B={−5, 1, 5}이므로 A−B={−1}, B−A={−5, 5}입니다. 따라서 (A−B)∪(B−A)={−5, −1, 5}이고 모든 원소의 합은 −1입니다.
1등급 다른 풀이 · 근과 계수의 관계로 합만 뽑아내기
묻는 것이 ‘원소의 합’뿐이라면 집합을 일일이 나열하지 않아도 됩니다. 대칭차집합의 원소 합은 (A의 원소 합)+(B의 원소 합)−2×(공통 원소의 합)으로 계산됩니다. 공통 원소를 양쪽에서 한 번씩, 총 두 번 빼 준다고 생각하면 됩니다.
a=0일 때 A는 x²−1=0의 해집합이므로 근의 합은 0이고, B는 삼차항과 이차항의 계수에서 근의 합이 1입니다. 공통 원소는 1 하나뿐이므로 0+1−2×1=−1이 곧바로 나옵니다. 단, 이 지름길은 세 근이 모두 서로 다르다는 확인이 끝난 뒤에만 쓸 수 있습니다. 중근이 있으면 방정식의 근의 개수와 집합의 원소 개수가 달라지기 때문입니다.
실수를 줄이는 전략
- A∩B={1}은 ‘1이 공통 원소’라는 뜻만이 아니라 ‘공통 원소가 그것뿐’이라는 뜻이기도 합니다. 대입으로 얻은 a의 값은 반드시 되돌려 검증하세요.
- 삼차방정식은 x=1이 근임을 이미 알고 있으므로 조립제법이나 x−1 묶기로 처리하면 됩니다. 인수정리를 처음부터 다시 시도하며 시간을 쓰지 마세요.
- (A−B)∪(B−A)는 합집합이 아닙니다. 공통 원소 1을 반드시 제외해야 하며, 이것을 빠뜨리면 답이 1만큼 커집니다.
- 문제가 요구하는 것은 원소의 ‘합’입니다. 개수를 답하거나 a+b를 답하지 않도록 마지막에 문장을 한 번 더 읽으세요.
엄선된 풀이 영상
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