최다빈출 왕중요
TOUGH
대칭차집합
원소 조건과 경우 나누기
출제의도
이 문항은 (A∪B)∩(A∩B)c라는 낯선 식을 보자마자 (A−B)∪(B−A), 즉 ‘합집합에서 교집합을 덜어낸 부분’으로 읽어낼 수 있는지를 묻습니다. 이 번역이 끝나면 문제는 ‘어느 원소가 교집합에 들어가야 하는가’라는 배치 문제로 바뀌고, 벤 다이어그램 한 장이면 상황이 정리됩니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 미지수 a의 값이 두 개 나오기 때문입니다. 방정식을 풀어 a를 구한 순간 답이 나왔다고 착각하기 쉽지만, 두 값을 각각 대입해 두 집합을 실제로 써 보면 한쪽은 조건을 만족하지 않습니다. 계산이 아니라 검증에서 정답이 갈리는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
주어진 식은 합집합에 속하면서 교집합에는 속하지 않는 원소들의 모임이므로 (A−B)∪(B−A)와 같습니다. 벤 다이어그램에서 가운데 겹치는 부분을 뺀 좌우 날개 부분이라고 생각하세요.
그 결과에 1과 5가 그대로 남아 있다는 것은, 1과 5가 교집합에 들어가지 않는다는 뜻입니다. A의 원소는 세 개뿐이므로 남은 하나가 교집합 자리를 차지해야 합니다. 그 원소가 B의 원소이기도 하다는 조건에서 방정식이 하나 나옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
a−7이 B의 원소여야 하는데, B의 두 원소 중 a+3과는 같아질 수 없으므로 남은 하나와 같다고 놓습니다. 정리하면 a에 대한 이차방정식 a²−8a+12=0이 되고, 두 개의 a값이 나옵니다.
여기서 멈추지 말고 두 값을 각각 대입해 집합 A와 B의 원소를 전부 써 보세요. 대칭차집합이 {1, 5, b} 꼴로 나오는 쪽만 정답 후보입니다. 다른 한쪽은 5가 교집합으로 끌려 들어가 1만 남기 때문에 조건을 만족하지 못합니다.
정답 확인
정답 ③ a+b = 15 (a=6, b=9)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A대칭차집합으로 바꿔 a의 후보 구하기
(A∪B)∩(A∩B)c=(A−B)∪(B−A)이므로 결과에 남은 1, 5는 교집합 밖의 원소입니다. 따라서 A의 나머지 원소 a−7이 A∩B에 속해야 하고, 이는 a−7이 B의 원소라는 뜻입니다. a−7=a+3은 성립할 수 없으므로 a−7=a²−7a+5로 놓으면 a²−8a+12=0, 즉 (a−2)(a−6)=0에서 a=2 또는 a=6을 얻습니다.
STEP B두 후보를 대입해 검증하고 b 구하기
a=2이면 A={1, 5, −5}, B={−5, 5}가 되어 5까지 교집합에 들어가므로 (A−B)∪(B−A)={1}이 되어 조건에 맞지 않습니다. a=6이면 A={1, 5, −1}, B={−1, 9}이므로 교집합은 {−1}뿐이고 (A−B)∪(B−A)={1, 5, 9}가 되어 b=9입니다. 따라서 a+b=15입니다.
1등급 다른 풀이 · 원소의 개수로 먼저 확정하기
대칭차집합의 원소가 3개라는 사실만으로 교집합의 크기를 먼저 확정할 수 있습니다. n(A)=3, n(B)=2이므로 n((A−B)∪(B−A))=n(A)+n(B)−2n(A∩B)=5−2n(A∩B)입니다. 이 값이 3이므로 n(A∩B)=1이 곧바로 나옵니다.
교집합의 원소가 정확히 하나이고 1, 5는 거기에 들어갈 수 없으므로, 그 하나는 반드시 a−7입니다. 벤 다이어그램을 그리기 전에 개수 관계식으로 배치를 확정해 두면 경우를 잘못 나눌 위험이 사라집니다. 이 관계식은 뒤에 나오는 집합의 원소 개수 단원에서 그대로 다시 쓰이므로 지금 익혀 두면 이득입니다.
실수를 줄이는 전략
- (A∪B)∩(A∩B)c를 여집합부터 계산하려 들지 마세요. 대칭차집합으로 한 번에 번역하는 것이 훨씬 빠르고 안전합니다.
- a의 값을 구했다고 끝내지 마세요. 이 문항은 후보 두 개 중 하나가 탈락하는 구조이고, 탈락 이유는 ‘5가 두 집합에 모두 들어가 버리는 것’입니다.
- 집합의 원소는 서로 달라야 합니다. a−7과 a+3은 어떤 a에서도 같아질 수 없다는 점이 식을 세우는 근거입니다.
- b는 결과 집합에 새로 등장한 원소이지 B의 원소 전체가 아닙니다. 묻는 것이 a+b임을 마지막에 한 번 더 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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