TOUGH
약수의 집합
부분집합의 개수
차집합과 포함관계
출제의도
이 문항은 ‘약수 전체의 집합’이라는 새로운 기호 Bk를 정의해 주고, 집합 단원에서 배운 포함관계·부분집합의 개수·차집합을 정수의 성질과 연결해 묻습니다. 기호가 낯설어 보이지만 실제로 할 일은 각 보기마다 Bk를 원소나열법으로 바꿔 쓰는 것뿐입니다.
TOUGH 스텝인 이유는 ㄷ 때문입니다. ‘A⊂X⊂B를 만족하는 X의 개수’는 반드시 포함해야 할 원소를 제외한 나머지 개수로 결정되는데, 이 지수 계산에서 2의 거듭제곱을 한 칸씩 잘못 세는 학생이 매우 많습니다. 나머지 세 보기는 참이고 ㄷ만 거짓이라는 구성이라, ㄷ을 놓치면 곧바로 오답으로 이어집니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
Bk는 k의 양의 약수를 모두 모은 집합입니다. 추상적으로 두지 말고 B2, B4, B6, B12처럼 필요한 것을 그때그때 원소나열법으로 적어 두세요. 대부분의 보기는 적어 놓는 순간 판정이 끝납니다.
핵심 연결고리는 하나입니다. Bm⊂Bn은 곧 m이 n의 약수라는 사실입니다. 이 번역을 알고 있으면 포함관계 문제와 차집합이 공집합인 문제를 모두 약수 문제로 바꿀 수 있습니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
ㄴ은 소수 p에 대해 p²의 약수를 직접 나열해 보면 됩니다. 1, p, p² 세 개로 끝나는 이유를 소인수분해와 연결해 설명할 수 있어야 합니다.
ㄷ은 B4⊂X⊂B12를 원소나열로 바꿔 쓴 뒤, 큰 집합의 원소 개수와 반드시 포함되어야 하는 원소 개수를 각각 세세요. 이런 형태의 개수는 2(전체 원소 수)−(필수 원소 수)입니다. 계산 결과를 보기에 적힌 값과 대조하세요.
ㄹ은 차집합이 공집합이라는 조건을 포함관계로 바꾸는 것이 전부입니다. Bn⊂B6이면 n은 6의 약수이므로, 6의 약수를 빠짐없이 세면 개수가 나옵니다.
정답 확인
정답 ③ (ㄱ, ㄴ, ㄹ 참 / ㄷ 거짓)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 보기별 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aㄱ · 원소를 나열해 포함관계 확인
B4={1, 2, 4}, B2={1, 2}이므로 B2의 모든 원소가 B4에 들어 있습니다. 따라서 B2⊂B4입니다. [참]
STEP Bㄴ · 소수의 제곱의 약수 개수 세기
p가 소수이면 p²의 약수는 1, p, p²뿐이므로 n(Bp²)=3입니다. [참]
STEP Cㄷ · A⊂X⊂B 꼴의 개수 공식 적용
B4⊂X⊂B12는 {1, 2, 4}⊂X⊂{1, 2, 3, 4, 6, 12}과 같습니다. 즉 X는 원소가 6개인 집합의 부분집합 중 1, 2, 4를 반드시 포함하는 것이므로 개수는 26−3=8입니다. 보기의 16과 다르므로 [거짓]입니다.
STEP Dㄹ · 차집합이 공집합 ⇒ 포함관계 ⇒ 약수
Bn−B6=∅이면 Bn⊂B6이고, 이는 n이 6의 약수임을 뜻합니다. 그러한 자연수 n은 1, 2, 3, 6의 4개입니다. [참] 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이고 답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 모든 보기를 ‘약수 관계’로 통일해서 보기
이 문항의 네 보기는 Bm⊂Bn⟺m이 n의 약수라는 한 문장으로 모두 번역됩니다. ㄱ은 2가 4의 약수인가라는 물음이고, ㄹ은 n이 6의 약수인가라는 물음입니다. 원소를 나열하지 않고도 즉시 판정이 됩니다.
ㄷ도 같은 관점으로 바꿀 수 있습니다. B4⊂X⊂B12에서 X가 어떤 자연수의 약수 집합일 필요는 없다는 점이 함정인데, X는 그저 B12의 부분집합 중 B4를 포함하는 것이면 됩니다. 그래서 답이 12의 약수의 개수 같은 값이 아니라 자유롭게 넣거나 뺄 수 있는 원소 3, 6, 12의 개수로 결정되어 2³=8이 되는 것입니다.
ㄴ은 소인수분해 관점에서 보면 더 일반화됩니다. 자연수 N=paqb의 약수의 개수는 (a+1)(b+1)이므로, N=p²이면 약수의 개수는 2+1=3입니다. 약수의 개수 공식을 집합 기호와 연결해 두면 이 유형의 변형 문제에서 시간을 크게 줄일 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 새 기호가 나오면 반드시 작은 값으로 몇 개 적어 보세요. B4, B6, B12를 나열하는 30초가 네 보기 전체의 판정 시간을 줄여 줍니다.
- A⊂X⊂B의 개수는 2n(B)−n(A)입니다. 지수에서 빼는 것은 ‘반드시 포함해야 하는 원소의 개수’이며, n(B)를 그대로 쓰면 개수가 부풀려집니다.
- B12의 원소를 셀 때 1과 12를 빠뜨리기 쉽습니다. 약수는 1×12, 2×6, 3×4처럼 짝을 지어 세면 누락이 없습니다.
- A−B=∅과 A∩B=∅을 혼동하지 마세요. 앞은 A⊂B를, 뒤는 서로소를 뜻합니다.
- ㄹ에서 n의 개수를 묻는지 n의 값을 묻는지 확인하세요. 값의 합이나 곱으로 답을 적으면 그대로 틀립니다.
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