TOUGH
분배법칙
원소의 개수 조건
경우 나누기
출제의도
이 문항은 미지수가 들어 있는 집합 C={a, a+2}를 다루는 유형입니다. 원소가 문자로 주어지면 벤 다이어그램을 그려도 그림이 확정되지 않으므로, 먼저 연산법칙으로 조건을 C에 대한 조건으로 바꾸는 것이 핵심입니다. X∩B=(A∪C)∩B에 분배법칙을 쓰면 A가 만드는 고정 부분과 C가 만드는 변동 부분이 분리됩니다.
TOUGH 스텝인 이유는 조건을 번역한 뒤에 ‘경우 나누기’가 남기 때문입니다. a와 a+2 중 어느 쪽이 B의 원소가 되는지에 따라 네 가지 경우가 생기고, 그중 두 경우는 두 원소가 동시에 B에 들어가 버려 개수 조건을 깨뜨립니다. 이 함정을 걸러내지 못하면 곱이 달라집니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
X=A∪C이므로 X∩B=(A∪C)∩B이고, 분배법칙에 의해 (A∩B)∪(C∩B)로 갈라집니다. A와 B는 원소가 모두 주어져 있으니 A∩B는 즉시 확정되는 고정 부분입니다. 이 고정 부분의 원소가 몇 개인지 먼저 세어 보세요.
고정 부분이 2개인데 전체가 3개여야 한다면, C∩B는 고정 부분에 없는 새 원소를 정확히 1개만 공급해야 합니다. 문제의 조건이 이 한 문장으로 압축된다는 것이 이 문항의 출발점입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
새 원소가 될 수 있는 후보는 B의 원소 중 A∩B에 포함되지 않은 것들뿐입니다. 즉 a와 a+2 중 하나가 그 후보값과 같아야 합니다. 여기서 경우를 a=후보, a+2=후보로 나누어 각각 a를 구하세요.
중요한 것은 그다음입니다. 구한 a에 대해 나머지 한 원소도 계산해서, 그것이 또 다른 새 원소가 되어버리지 않는지 반드시 확인해야 합니다. 두 원소가 모두 B에 들어가면 원소 개수가 3이 아니라 4가 되어 조건을 만족하지 않습니다.
살아남은 a의 값을 모두 모아 곱하면 답입니다. 각 경우마다 X∩B를 실제로 써 보고 개수를 세는 검산을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 21 (a=3, 7 → 3×7)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 경우 분류를 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A분배법칙으로 조건을 C에 대한 조건으로 번역하기
X∩B=(A∪C)∩B=(A∩B)∪(C∩B)로 쓰면 A∩B={2, 3}이 고정됩니다. n(X∩B)=3이 되려면 C∩B가 2도 3도 아닌 원소를 정확히 하나 포함해야 합니다. 따라서 a, a+2 중 하나는 5 또는 7이고, 나머지 하나는 5도 7도 아닌 U의 원소여야 합니다.
STEP B네 가지 경우를 나누고 조건 위반을 걸러내기
a=5이면 a+2=7이 되어 X∩B={2, 3, 5, 7}이므로 개수가 4가 되어 탈락합니다. a=7이면 a+2=9이므로 X∩B={2, 3, 7}로 조건을 만족합니다. a+2=5이면 a=3이므로 X∩B={2, 3, 5}로 조건을 만족합니다. a+2=7이면 a=5가 되어 다시 두 원소가 모두 B에 들어가므로 탈락합니다.
STEP C살아남은 값의 곱 구하기
조건을 만족하는 a의 값은 3과 7이므로 구하는 곱은 3×7=21입니다.
1등급 다른 풀이 · a를 직접 훑어보는 전수 확인
집합 C의 원소도 U={1, 2, …, 10}의 원소여야 하므로 a가 가질 수 있는 값은 1부터 8까지 여덟 개뿐입니다. 경우의 수가 이렇게 적을 때는 표를 그려 전수 확인하는 편이 오히려 빠르고 안전합니다.
a=1부터 차례로 C={a, a+2}를 쓰고 C∩B를 적어 보면, C가 B의 원소를 하나도 갖지 않는 a=1, 2, 4, 6, 8에서는 X∩B={2, 3}으로 개수가 2에 그칩니다. C가 B의 원소를 둘 다 갖는 a=5에서는 개수가 4가 됩니다. 남는 a=3, 7에서만 정확히 3이 되고, 3에서는 5가, 7에서는 7이 새로 들어옵니다.
이 방식은 시간이 조금 더 걸리지만 ‘두 원소가 동시에 들어가는 함정’을 자동으로 걸러 준다는 장점이 있습니다. 경우 나누기로 답을 낸 뒤 이 표로 한 번 검산하면 실수를 거의 없앨 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 미지수가 든 집합 문제는 그림보다 식이 먼저입니다. (A∪C)∩B에 분배법칙을 써서 고정 부분과 변동 부분을 분리하는 것이 첫걸음입니다.
- 새로 추가되는 원소의 후보는 ‘B의 원소 중 A∩B에 없는 것’뿐입니다. B 전체가 후보라고 생각하면 2, 3까지 세면서 경우가 뒤엉킵니다.
- a를 구했으면 반드시 a+2도 계산해 두 원소를 같이 확인하세요. 한쪽만 보고 답을 확정하면 a=5 같은 함정을 그대로 통과시킵니다.
- C도 U의 부분집합이므로 a+2≤10, 즉 a≤8이라는 제한이 숨어 있습니다. 미지수 범위를 먼저 적어두면 불필요한 경우를 줄일 수 있습니다.
- 마지막에 묻는 것은 a의 값이 아니라 모든 a의 값의 곱입니다. 합으로 답하면 10이 되어 틀립니다.
엄선된 풀이 영상
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