TOUGH
2022년 03월 고2 학력평가 19번
드모르간의 법칙
차집합과 원소의 합
약수 집합
출제의도
이 문항은 집합 기호를 ‘해석’하는 힘을 묻습니다. 조건 (가)에 등장하는 A∪Bc는 그대로 두면 아무 정보도 주지 않지만, 드모르간의 법칙으로 (B−A)c로 바꾸는 순간 전체집합의 원소 개수가 곧바로 결정됩니다. 기호를 다루기 좋은 모양으로 바꿔 쓰는 것이 첫 번째 관문입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 조건 (나) 때문입니다. ‘두 집합의 원소의 합이 같다’는 문장을 차집합끼리의 합이 같다는 조건으로 옮긴 뒤, A가 어떤 자연수의 약수 집합이라는 제약과 결합해 후보를 직접 걸러야 합니다. 계산이 어려운 것이 아니라 조건을 빠짐없이 쓰는 성실함이 갈리는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
A∪Bc를 드모르간의 법칙으로 정리해 보세요. 여집합 안쪽이 교집합으로 바뀌면서 결국 B−A의 여집합이 됩니다. 조건 (가)가 n(B−A)와 n((B−A)c)를 동시에 주고 있다는 뜻입니다.
어떤 집합과 그 여집합은 전체집합을 빈틈없이 둘로 나눕니다. 두 개수를 더하면 무엇이 나오는지 생각해 보면, 문제에서 미지수로 남겨 둔 k가 먼저 결정됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
조건 (나)의 ‘합이 같다’에서 양변에 공통으로 들어 있는 A∩B의 원소의 합을 빼 보세요. A−B의 원소의 합과 B−A의 원소의 합이 같다는, 훨씬 다루기 쉬운 조건이 남습니다. B−A는 이미 주어져 있으니 이 합은 바로 계산됩니다.
이제 A={x | x는 m의 약수}라는 제약을 씁니다. B−A에 들어 있는 두 수는 A의 원소가 아니므로 m의 약수가 될 수 없고, 동시에 A−B의 원소의 합이 앞에서 구한 값이 되어야 하므로 m의 약수의 총합에도 하한이 생깁니다. 이 두 조건으로 m 후보를 몇 개로 줄인 뒤 하나씩 검증하세요.
마지막에 구하는 집합은 Ac∩Bc입니다. 다시 드모르간을 적용하면 (A∪B)c이므로, A∪B를 원소나열법으로 쓰고 전체집합에서 빼면 끝납니다.
정답 확인
정답 ⑤ 22
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A드모르간으로 전체집합의 크기 확정하기
A∪Bc=(Ac∩B)c=(B−A)c입니다. 조건 (가)에서 n(B−A)=2, n((B−A)c)=7이고 이 둘은 전체집합을 서로소로 분할하므로 n(U)=2+7=9입니다. U가 k 이하의 자연수 전체이므로 k=9, 즉 U={1, 2, …, 9}로 확정됩니다.
STEP B조건 (나)로 자연수 m 찾기
A와 B의 원소의 합이 같으므로 공통부분을 소거하면 (A−B의 원소의 합)=(B−A의 원소의 합)입니다. B−A가 주어져 있으므로 이 값은 11입니다. 그런데 A는 m의 약수 집합이고 B−A의 두 원소는 A에 속하지 않으므로 m은 그 두 수를 약수로 가질 수 없으며, 동시에 약수의 합이 11 이상이어야 합니다. 이 조건으로 m 후보가 6과 9로 좁혀지고, 각각 A를 써서 A−B의 원소의 합이 11이 되는지 검증하면 m=6만 남습니다. 이때 B도 함께 결정됩니다.
STEP CAc∩Bc의 원소의 합 구하기
드모르간의 법칙으로 Ac∩Bc=(A∪B)c입니다. STEP B에서 얻은 A와 B로 합집합을 원소나열법으로 쓰고, U={1, 2, …, 9}에서 그 원소들을 제외하면 구하는 집합이 나옵니다. 남은 세 수를 더하면 22입니다.
1등급 다른 풀이 · 전체 합에서 빼는 방식
마지막 STEP C를 원소나열 없이 처리하는 방법이 있습니다. 구하는 집합이 (A∪B)c이므로, (A∪B)c의 원소의 합은 U의 모든 원소의 합에서 A∪B의 모든 원소의 합을 뺀 값입니다.
U={1, 2, …, 9}의 원소의 합은 1부터 9까지의 합이므로 45로 즉시 계산됩니다. 여기에서 A∪B의 원소의 합만 구해 빼면 답이 나옵니다. 여집합에 어떤 수가 남는지 일일이 골라내는 과정에서 원소를 빠뜨리는 실수를 원천적으로 막을 수 있어, 원소 개수가 많은 문항일수록 유리한 접근입니다.
더 나아가 벤 다이어그램을 A−B, A∩B, B−A, (A∪B)c의 네 영역으로 먼저 그려 두면, 조건 (가)는 오른쪽 두 영역의 개수를, 조건 (나)는 양쪽 바깥 영역의 합을 지정한다는 구조가 한눈에 보입니다. 조건이 어느 영역을 건드리는지 표시해 두고 시작하는 습관이 이 유형의 체감 난도를 크게 낮춥니다.
실수를 줄이는 전략
- A∪Bc와 Ac∪B를 혼동하지 마세요. 어느 쪽에 여집합이 붙었는지에 따라 차집합의 방향이 A−B와 B−A로 정반대가 됩니다.
- ‘원소의 합이 같다’를 ‘두 집합이 같다’로 읽으면 안 됩니다. 공통부분을 소거해 차집합끼리 비교하는 것이 정석 처리입니다.
- m 후보를 고를 때 조건이 두 개라는 점을 기억하세요. 약수로 가지면 안 되는 수와 약수의 합의 하한, 둘 중 하나만 쓰면 후보가 남거나 정답이 사라집니다.
- k를 구하지 않고 전체집합을 임의로 가정하면 Ac∩Bc가 통째로 달라집니다. 여집합이 등장하는 문제는 U 확정이 항상 1순위입니다.
- 후보 m을 검증할 때는 ‘조건을 만족한다’까지만 보지 말고, 만족하지 않는 경우도 왜 안 되는지 근거를 남기세요. 서술형에서 감점이 가장 많이 나오는 지점입니다.
내신 연계 출제문항
같은 구조로 숫자만 바꾼 연계 문항입니다. 위 흐름을 그대로 적용할 수 있는지 스스로 확인해 보세요.
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