TOUGH
조건으로 정해지는 집합
특정 원소를 포함하는 부분집합
출제의도
앞 문항과 조건 (가)의 형태는 같지만 조건 (나)가 바뀌었습니다. ‘18x∈X’에서 18은 제곱수가 아니므로 자기 자신과 짝이 되는 원소가 없습니다. 즉 18의 약수 6개가 정확히 3개의 짝으로 완전히 나뉩니다.
여기에 ‘2를 반드시 원소로 가진다’는 조건이 붙으면, 2가 속한 짝이 통째로 확정됩니다. 확정된 짝 하나를 제외한 나머지 짝만 자유롭게 선택하는 구조로 바뀌는데, 이때 ‘특정 원소를 포함하는 부분집합의 개수는 2ⁿ⁻¹’이라는 공식과 연결해서 보는 눈이 필요합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
x와 18/x가 모두 자연수여야 하므로 원소가 될 수 있는 수는 18의 약수 1, 2, 3, 6, 9, 18뿐입니다. 곱해서 18이 되는 두 수끼리 묶어 보세요.
18은 제곱수가 아니므로 홀로 남는 원소가 생기지 않습니다. 짝이 몇 개인지 확인하고, 2가 어느 짝에 속하는지 찾아보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
짝은 {1, 18}, {2, 9}, {3, 6}의 3개입니다. 2가 X의 원소이면 조건 (가)에 의해 9도 반드시 X의 원소이므로, 짝 {2, 9}는 통째로 확정됩니다.
남은 두 짝 {1, 18}, {3, 6}은 각각 넣거나 넣지 않는 두 가지 선택이 가능합니다. 3개의 짝 중 하나를 강제로 포함하는 경우이므로 2³⁻¹로 계산됩니다.
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정답 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)를 만족하는 원소 후보 파악하기
x와 18/x가 모두 자연수이므로 x가 될 수 있는 수는 18의 양의 약수 1, 2, 3, 6, 9, 18입니다. 1과 18, 2와 9, 3과 6은 둘 중 하나가 X의 원소이면 나머지 하나도 반드시 X의 원소가 됩니다.
STEP B2를 강제 포함시키고 남은 짝의 개수 세기
2를 반드시 원소로 가지므로 짝 {2, 9}는 확정입니다. 결국 집합 {1, 2, 3}에 대응하는 3개의 짝 중 2가 든 짝을 반드시 포함하는 경우의 수와 같으므로, 구하는 집합 X의 개수는 2³⁻¹=2²=4입니다.
1등급 다른 풀이 · 네 가지를 직접 나열해 확인하기
개수가 작으므로 직접 써 보면 확실합니다. {2, 9}는 항상 들어가고 나머지 두 짝의 포함 여부에 따라 X는 {2, 9}, {1, 2, 9, 18}, {2, 3, 6, 9}, {1, 2, 3, 6, 9, 18}의 네 가지입니다.
네 집합 모두 임의의 원소 x에 대해 18/x가 다시 그 집합 안에 들어 있는지 확인해 보세요. 예를 들어 {2, 3, 6, 9}에서 3→6, 6→3, 2→9, 9→2로 모두 닫혀 있습니다. 답을 구한 뒤 이렇게 한 번 검증하는 습관이 조건 해석 실수를 막아 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- 18은 제곱수가 아니므로 홀로 남는 원소가 없습니다. 앞 문항(36)의 6처럼 중앙에 남는 수를 억지로 찾으려 하면 헤맵니다.
- 2만 넣고 9를 빠뜨리면 조건 (가)가 깨집니다. 원소는 언제나 짝 단위로 움직입니다.
- 2³이 아니라 2³⁻¹입니다. 반드시 포함해야 하는 짝은 선택의 자유가 없으므로 지수에서 1이 빠집니다.
- 2가 들어가므로 X는 공집합이 될 수 없습니다. 공집합 포함 여부를 따로 고민하다가 개수를 1 더하거나 빼지 마세요.
엄선된 풀이 영상
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