TOUGH
조건제시법과 원소나열법
부분집합의 개수
출제의도
이 문항은 조건제시법으로 주어진 두 집합을 정확히 원소나열법으로 바꾼 뒤, A⊂X⊂B 꼴의 포함 관계와 원소 개수 조건을 동시에 만족시키는 집합의 개수를 세는 문제입니다. 집합 단원에서 가장 자주 출제되는 두 축, 즉 ‘집합 결정’과 ‘부분집합의 개수’를 한 문제 안에 겹쳐 놓았습니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 개수를 세는 계산 자체가 아니라 그 앞의 두 단계 때문입니다. B를 12의 약수 집합으로 읽어내지 못하면 시작부터 어긋나고, A⊂X 조건을 ‘1과 3은 이미 확정’으로 번역하지 못하면 n(X)≥4가 ‘나머지 원소 중 2개 이상’이라는 말임을 놓치게 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 두 집합의 정체를 밝히세요. A는 이차방정식의 해집합이므로 인수분해로 원소를 구하면 되고, B는 x=12/n에서 x와 n이 모두 자연수라는 조건이 핵심입니다. 12/n이 자연수가 되려면 n이 어떤 수여야 하는지 생각해 보세요.
A⊂X⊂B는 ‘X는 B의 부분집합인데, A의 원소는 반드시 들어 있다’는 뜻입니다. 즉 A의 원소는 선택의 대상이 아니라 이미 고정된 원소이고, 진짜로 넣을지 말지 고를 수 있는 것은 B에서 A를 뺀 나머지 원소들뿐입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
A={1, 3}, B={1, 2, 3, 4, 6, 12}입니다. 1과 3은 반드시 들어가므로 선택 대상은 2, 4, 6, 12의 네 개뿐입니다. 이 네 개 중 몇 개를 고르든 X가 만들어지고, 그때 n(X)는 2에 고른 개수를 더한 값이 됩니다.
따라서 n(X)≥4라는 조건은 ‘네 개 중 2개 이상을 고른다’와 같은 말입니다. 네 개짜리 집합의 부분집합 전체 개수에서 조건에 어긋나는 경우, 즉 0개를 고르는 경우와 1개를 고르는 경우를 빼면 됩니다.
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정답 11
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 집합을 원소나열법으로 바꾸기
A는 x²−4x+3=0의 해집합이므로 (x−1)(x−3)=0에서 x=1 또는 x=3, 즉 A={1, 3}입니다.
B는 x=12/n에서 x와 n이 모두 자연수인 x의 집합이므로 x는 12의 양의 약수입니다. 따라서 B={1, 2, 3, 4, 6, 12}이고 n(B)=6입니다.
STEP B고정 원소와 선택 원소를 분리하기
A⊂X⊂B이므로 X는 B의 부분집합이면서 1, 3을 반드시 원소로 갖습니다. 남은 원소 2, 4, 6, 12는 넣어도 되고 넣지 않아도 되는 선택 대상이므로, X를 정하는 일은 곧 {2, 4, 6, 12}의 부분집합 하나를 고르는 일과 같습니다.
이때 n(X)=2+(선택한 원소의 개수)이므로, n(X)≥4는 선택한 원소가 2개 이상이라는 조건이 됩니다.
STEP C조건에 어긋나는 경우를 빼서 세기
{2, 4, 6, 12}의 부분집합은 모두 2⁴=16개입니다. 이 중 조건에 어긋나는 것은 원소를 하나도 고르지 않은 공집합 1개와 원소가 1개인 부분집합 4개입니다.
따라서 구하는 집합 X의 개수는 2⁴−(4+1)=16−5=11입니다.
1등급 다른 풀이 · 개수별로 직접 더해서 확인하기
여집합을 빼는 방식이 불안하다면, 선택하는 원소의 개수로 경우를 나누어 직접 더해도 됩니다. {2, 4, 6, 12}에서 2개를 고르는 경우가 ₄C₂=6가지, 3개를 고르는 경우가 ₄C₃=4가지, 4개를 모두 고르는 경우가 ₄C₄=1가지이므로 6+4+1=11로 같은 답이 나옵니다.
여기서 눈여겨볼 것은 원소가 4개인 집합의 부분집합을 개수별로 세면 1, 4, 6, 4, 1이 되고 이들의 합이 정확히 16이라는 사실입니다. 이 분포를 외워 두면 ‘n(X)가 몇 이상’ 또는 ‘몇 이하’라는 조건이 붙은 문제에서 전체를 빼야 할지 직접 더해야 할지를 즉시 판단할 수 있습니다. 조건이 양 끝에 걸리면 빼는 쪽이, 가운데 몇 개만 요구하면 더하는 쪽이 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- B의 정체는 12의 약수 집합입니다. n에 1부터 차례로 대입하다가 12/5, 12/7처럼 자연수가 아닌 값을 걸러내지 못하면 원소 개수부터 틀립니다.
- A⊂X와 X⊂B를 한꺼번에 처리하려 하지 마세요. “A의 원소는 고정, 나머지는 선택”으로 분리하는 순간 문제가 단순한 부분집합 개수 문제로 바뀝니다.
- n(X)≥4의 4는 X 전체의 원소 개수입니다. 이미 확보된 1, 3의 2개를 빼고 “나머지에서 2개 이상”으로 바꿔 읽어야 합니다. 4개 이상을 더 고르는 것으로 착각하면 답이 1이 됩니다.
- “2개 이상”에는 3개와 4개도 포함됩니다. ₄C₂만 세고 6이라고 답하는 실수가 가장 많습니다.
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